EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}-5 x y^{\prime}+6 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação de Euler–Cauchy
x^{2}y'' -5x\,y' +6y = 0
e pede sua solução geral. Para esse tipo de ED O usamos o ansatz
y = x^{r}
onde r é um expoente a determinar.

Passo 2

Assumindo y = x^{r}, calculamos as derivadas:
y' = r\,x^{r-1},\qquad y'' = r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo na EDO:
x^{2}\bigl[r(r-1)\,x^{r-2}\bigr] -5x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] +6\,x^{r} = 0.

Passo 3

Fatoramos x^{r} (que é não nulo para x\neq0):
x^{r}\bigl[r(r-1) -5r +6\bigr] = 0\;\Longrightarrow\;r(r-1) -5r +6 = 0.

Passo 4

Expandindo e simplificando a equação característica:
r^{2} -r -5r +6 = 0\;\Longrightarrow\;r^{2} -6r +6 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-6)^{2} -4\cdot1\cdot6 = 36 -24 = 12,
logo as raízes são
r = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}.

Passo 5

Como as raízes r_{1}=3+\sqrt{3} e r_{2}=3-\sqrt{3} são distintas, a solução geral da ED O é
y(x) = C_{1}\,x^{3+\sqrt{3}} + C_{2}\,x^{3-\sqrt{3}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{3+\sqrt{3}} + C_{2}\,x^{3-\sqrt{3}}.

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