EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+y=e^{x} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^{2}y'' + 2x\,y' + y = e^{x}\cos(x),
que é uma EDO de coeficientes não constantes do tipo x^{2}y''+a x y'+b y=g(x). Vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea por y_h=x^m e depois usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma particular.

Passo 2

Propondo y_h=x^m, temos
y' = m x^{m-1},\quad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo em x^{2}y''+2x\,y'+y=0
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) +2x\bigl(m x^{m-1}\bigr) + x^{m} = x^{m}\bigl(m^{2}+m+1\bigr)=0.
Assim o polinômio característico é
m^{2}+m+1=0\quad\Rightarrow\quad m = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Logo a solução homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}\,x^{-1/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\bigr) + C_{2}\,x^{-1/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\bigr).

Passo 3

Para a variação de parâmetros tomamos
y_{1}(x)=x^{-1/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\bigr), \quad y_{2}(x)=x^{-1/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\bigr).
Calcula-se o Wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1}&y_{2}\\\ y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix} =\frac{\sqrt{3}}{2}x^{-2}.

Passo 4

O termo não homogêneo é g(x)=e^{x}\cos x. Pela fórmula de variação de parâmetros, a solução particular é
y_{p}(x) =-y_{1}(x)\,\int \frac{y_{2}(x)\,g(x)}{x^{2}W(x)}\,dx + y_{2}(x)\,\int \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{x^{2}W(x)}\,dx.
Como x^{2}W(x)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, isso fica
y_{p}(x) =-\frac{2}{\sqrt{3}}\,y_{1}(x)\int y_{2}(x)\,e^{x}\cos x\,dx +\frac{2}{\sqrt{3}}\,y_{2}(x)\int y_{1}(x)\,e^{x}\cos x\,dx.

Passo 5

Reunindo as partes, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\,x^{-1/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\bigr) + C_{2}\,x^{-1/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\bigr) - \frac{2}{\sqrt{3}}\,x^{-1/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\bigr)\!\! \int y_{2}(x)e^{x}\cos x\,dx +\frac{2}{\sqrt{3}}\,x^{-1/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\bigr)\!\! \int y_{1}(x)e^{x}\cos x\,dx.

Resposta

\boxed{ y(x)= C_{1}\,x^{-1/2}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\Bigr) + C_{2}\,x^{-1/2}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\Bigr) - \frac{2}{\sqrt{3}}\,x^{-1/2}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\Bigr) \int y_{2}(x)e^{x}\cos x\,dx + \frac{2}{\sqrt{3}}\,x^{-1/2}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\Bigr) \int y_{1}(x)e^{x}\cos x\,dx }

Exercícios relacionados