EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}-5 x y^{\prime}+4 y=x^{2} \cos (x)+e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^{2}y''-5xy'+4y=x^{2}\cos(x)+e^{x},
ou seja, é uma EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis do tipo “Euler–Cauchy”. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois usar o método de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Para a homogênea associada
x^{2}y''-5xy'+4y=0
fazemos o palpite y=x^{r}. Substituindo:
r(r-1)x^{r}-5r x^{r}+4x^{r}=0 \;\Longrightarrow\; r^{2}-6r+4=0.
As raízes são
r=3\pm\sqrt{5}.
Logo a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\,x^{3+\sqrt{5}}+C_{2}\,x^{3-\sqrt{5}}.

Passo 3

Para montar a variação de parâmetros, escrevemos a EDO na forma padrão
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=g(x),
dividindo tudo por x^{2}:
y''-\frac{5}{x}y'+\frac{4}{x^{2}}y =\cos(x)+\frac{e^{x}}{x^{2}} \equiv f(x).
Tomamos as soluções fundamentais da homogênea \displaystyle y_{1}=x^{3+\sqrt{5}},\;y_{2}=x^{3-\sqrt{5}}
e o wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1}&y_{2}\\\ y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix} =(r_2-r_1)x^{r_1+r_2-1} =-2\sqrt{5}\,x^{5}.
As funções auxiliares satisfazem
u_{1}'=-\frac{y_{2}\,f(x)}{W(x)}, \quad u_{2}'=\frac{y_{1}\,f(x)}{W(x)},
e a parte particular é \displaystyle y_{p}=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x).

Passo 4

Compute-se
u_{1}'(x) =-\frac{x^{3-\sqrt{5}}\bigl(\cos x + e^{x}/x^{2}\bigr)} {-2\sqrt{5}\,x^{5}} =\frac{1}{2\sqrt{5}} \Bigl[x^{-2-\sqrt{5}}\cos x + x^{-4-\sqrt{5}}e^{x}\Bigr],
u_{2}'(x) =\frac{x^{3+\sqrt{5}}\bigl(\cos x + e^{x}/x^{2}\bigr)} {-2\sqrt{5}\,x^{5}} =-\frac{1}{2\sqrt{5}} \Bigl[x^{-2+\sqrt{5}}\cos x + x^{-4+\sqrt{5}}e^{x}\Bigr].

Passo 5

Integrando, obtemos
u_{1}(x) =\frac{1}{2\sqrt{5}}\int x^{-2-\sqrt{5}}\cos x\,dx +\frac{1}{2\sqrt{5}}\int x^{-4-\sqrt{5}}e^{x}\,dx,
u_{2}(x) =-\frac{1}{2\sqrt{5}}\int x^{-2+\sqrt{5}}\cos x\,dx -\frac{1}{2\sqrt{5}}\int x^{-4+\sqrt{5}}e^{x}\,dx.
Logo a solução particular fica
y_{p}(x) =y_{1}(x)\,u_{1}(x)+y_{2}(x)\,u_{2}(x)
com essas integrais acima (geralmente expressas em termos de funções especiais ou mantidas em forma integral).

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{% y(x)=C_{1}\,x^{3+\sqrt{5}}+C_{2}\,x^{3-\sqrt{5}} +\;x^{3+\sqrt{5}}\;u_{1}(x) +\;x^{3-\sqrt{5}}\;u_{2}(x), }
onde
u_{1}(x)=\frac{1}{2\sqrt{5}}\int\!x^{-2-\sqrt{5}}\cos x\,dx +\frac{1}{2\sqrt{5}}\int\!x^{-4-\sqrt{5}}e^{x}\,dx,
u_{2}(x)=-\frac{1}{2\sqrt{5}}\int\!x^{-2+\sqrt{5}}\cos x\,dx -\frac{1}{2\sqrt{5}}\int\!x^{-4+\sqrt{5}}e^{x}\,dx.

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