EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
y^prime+x y=x^2 y^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y'+x y=x^2y^3. Este conteúdo é equação de Bernoulli, e vamos usar a substituição que a transforma em uma EDO linear.

Passo 2

Identificamos que a equação está no formato de Bernoulli y'+P(x)y=Q(x)y^n com P(x)=x, Q(x)=x^2, n=3. Fazemos a troca de variável z=y^1-n=y^-2.

Passo 3

Calculamos a derivada de z:
z' = ddx(y^-2) = -2y^-3y'
Multiplicando a equação original por -2y^-3) e substituindo y', obtemos a EDO linear
z' - 2x z = -2x^2

Passo 4

Para resolver z' - 2x z = -2x^2, calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral -2x,dx=e^-x^2
Multiplicando a EDO por mu, fica
ddx(z,e^-x^2) = -2x^2e^-x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral d(z,e^-x^2) = integral -2x^2e^-x^2,dx
No lado direito, por partes, achamos
integral -2x^2e^-x^2,dx = x e^-x^2 - integral e^-x^2,dx
Logo,
z,e^-x^2 = x e^-x^2 - integral e^-x^2,dx + C

Passo 6

Isolamos z multiplicando por e^x^2:
z = x - e^x^2integral e^-x^2,dx + C e^x^2
Lembrando que z=y^-2, obtemos a solução geral em forma implícita.

Resposta

A solução geral pode ser escrita como:
onde y^-2 = x + e^x^2l(C - tfracraizpi2erf(x)r), é a constante de integração e é a função erro.

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