EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
y^prime-y=y^5, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y' - y = y^5 com condição inicial y(0)=1. O conteúdo principal é EDO separável, então vamos precisar escrever y' como dydx, separar variáveis, integrar ambos os lados e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial temos dydx = y + y^5 = y(1 + y^4). Para separar variáveis, passamos todos os termos em y para um lado e dx para o outro:
dyy(1+y^4) = dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição
1y(1+y^4) = 1y - y^31+y^4

Passo 4

Logo, integrando ambos os lados:
integral 1y ,dy - integral y^31+y^4 ,dy = integral dx

Passo 5

Sabendo que integral 1y dy = ln|y| e que, por substituição u = 1+y^4, du = 4y^3 dy, temos integral y^31+y^4 dy = 14 ln(1+y^4). Então:
ln|y| - 14ln(1+y^4) = x + C

Passo 6

Agora aplicamos exponenciação. Podemos juntar os logaritmos:
lnl(y(1+y^4)^1/4r) = x + C

Passo 7

Daí
y(1+y^4)^1/4 = C'e^x

Passo 8

Para achar C', usamos y(0)=1:
1(1+1^4)^1/4 = C' e^0 ,Rightarrow, C' = 2^-1/4

Passo 9

Substituindo de volta e isolando y:
y(1+y^4)^1/4 = 2^-1/4e^x

Passo 10

Elevando ambos os lados à quarta potência e resolvendo para y^4 obtemos
y^41+y^4 = e^4x2 Rightarrow y^4 = e^4x2 - e^4x

Passo 11

Por fim,
$$
y(x) = \Bigl(\frac{e^{4x}}{2 - e{4x}}\Bigr){1/4}$$

Resposta

y(x) = l(e^4x/(2 - e^4x)r)^1/4, válido para e^4x<2.

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