EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
y^prime=(yx)^2-yx, y(1)=1

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO de primeira ordem y'=l( yxr)^2 - yxr) com condição inicial y(1)=1. O conteúdo é classificação de EDO homogênea que admite a substituição v= yx.

Passo 2

Fazemos a troca de variável v= yx, portanto y=v x. Derivando em relação a x obtemos:
y' = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo na EDO original y'=v^2 - v, temos
v + xdvdx = v^2 - v
e, isolando dv/dx:
xdvdx = v^2 - 2v = v(v-2),logo é uma equação separável
dvv(v-2) = dxx

Passo 4

Fazendo frações parciais:
1v(v-2) = -121v + 121v-2,integrando ambos os lados:
integrall(-tfrac121v + tfrac121v-2r)dv = integraldxx,o que leva a
-tfrac12ln|v| + tfrac12ln|v-2| = ln|x| + C

Passo 5

Reescrevendo:
lnl|v-2vr| = 2ln|x| + C' = lnl(Cx^2r),então
v-2v = Cx^2

Passo 6

Voltando a y:
yx - 2 yx = Cx^2 implies y-2xy = Cx^2 implies y(1 - Cx^2) = 2xPortanto
y = 2x1 - Cx^2

Passo 7

Usando a condição inicial y(1)=1:
1 = 2cdot11 - C implies 1 - C = 2 implies C = -1

Resposta

y = 2x1 + x^2

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