EDOs Lineares
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a gente encontre a solução geral
.
Informações relevantes que temos: a equação está na forma com
(constante) e
. Não foi dada nenhuma condição inicial, então queremos a solução geral com constante arbitrária.
Informações relevantes que temos: a equação está na forma
Passo 2
Vamos usar um método prático: multiplicar a equação por um fator que transforme o lado esquerdo numa derivada exata. Primeiro, explico a ideia em termos gerais.
Considere uma equação da forma
Procuramos um fator
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo vire a derivada de
. Pelo produto de derivadas, queremos
Comparando os dois lados, precisamos que
. Essa é uma equação diferencial simples para
e sua solução é
Essa
é chamada de fator integrante. É a ideia central: transformar por multiplicação a equação num lado que seja uma derivada total.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: temos
. Então o fator integrante é
Agora multiplicamos toda a equação original por
:
Passo 4
Verifiquemos que o lado esquerdo é realmente derivada de
. Pelo produto:
que é exatamente o lado esquerdo. No lado direito temos
Portanto a equação transformada é
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando
. No direito,
onde
é a constante de integração. Logo
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Pronto: essa é a solução geral. Aqui dá para interpretar:
, onde
é uma solução particular da equação não homogênea e
é a solução geral da equação homogênea associada
.
Passo 7
(Faço uma checagem rápida que vale sempre a pena na prova.) Derivando a solução obtida:
Agora calcule
:
que coincide com o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.