EDOs Lineares
\frac{d y}{d x}+2 y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}
e pede que a gente encontre a solução geral y(x).
Informações relevantes que temos: a equação está na forma \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) com P(x)=2 (constante) e Q(x)=e^{-x}. Não foi dada nenhuma condição inicial, então queremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos usar um método prático: multiplicar a equação por um fator que transforme o lado esquerdo numa derivada exata. Primeiro, explico a ideia em termos gerais.
Considere uma equação da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).
Procuramos um fator \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y. Pelo produto de derivadas, queremos
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y.
Comparando os dois lados, precisamos que \mu'(x)=\mu(x)P(x). Essa é uma equação diferencial simples para \mu e sua solução é
\mu(x)=\exp\left(\int P(x)\,dx\right).
Essa \mu é chamada de fator integrante. É a ideia central: transformar por multiplicação a equação num lado que seja uma derivada total.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: temos P(x)=2. Então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\left(\int 2\,dx\right)=\exp(2x)=e^{2x}.
Agora multiplicamos toda a equação original por e^{2x}:
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x}.

Passo 4

Verifiquemos que o lado esquerdo é realmente derivada de e^{2x}y. Pelo produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=e^{2x}\frac{dy}{dx}+\big(2e^{2x}\big)y,
que é exatamente o lado esquerdo. No lado direito temos
e^{2x}e^{-x}=e^{x}.
Portanto a equação transformada é
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx=\int e^{x}\,dx.
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando e^{2x}y. No direito,
\int e^{x}\,dx=e^{x}+C,
onde C é a constante de integração. Logo
e^{2x}y=e^{x}+C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^{2x}:
y=\frac{e^{x}}{e^{2x}}+\frac{C}{e^{2x}}=e^{-x}+C e^{-2x}.
Pronto: essa é a solução geral. Aqui dá para interpretar: y(x)=y_p(x)+y_h(x), onde y_p(x)=e^{-x} é uma solução particular da equação não homogênea e y_h(x)=C e^{-2x} é a solução geral da equação homogênea associada \frac{dy}{dx}+2y=0.

Passo 7

(Faço uma checagem rápida que vale sempre a pena na prova.) Derivando a solução obtida:
\frac{dy}{dx}=-e^{-x}-2C e^{-2x}.
Agora calcule \frac{dy}{dx}+2y:
\big(-e^{-x}-2C e^{-2x}\big)+2\big(e^{-x}+C e^{-2x}\big)=-e^{-x}-2C e^{-2x}+2e^{-x}+2C e^{-2x}=e^{-x},
que coincide com o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.

Resposta

y=e^{-x}+C e^{-2x}

Exercícios relacionados