EDOs Lineares
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
ou seja, encontrar a função
que satisfaz essa relação para todo
. Não foi dada nenhuma condição inicial, então devemos obter a solução geral, contendo uma constante arbitrária de integração.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos escrever a equação em uma forma padrão e identificar os termos úteis. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
onde
e
são funções conhecidas de
. Comparando com a nossa equação, temos
Isso é importante porque há um método sistemático (o fator integrante) que usa
para resolver a equação. Não vou pular etapas: vou mostrar cada passo desse método.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. O fator integrante é definido por
Aqui
, então
Explico rápido: multiplicando toda a equação por
conseguimos transformar o lado esquerdo em uma derivada de produto, o que facilita muito a integração.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
A ideia é reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto
. De fato, usando a regra do produto,
Portanto podemos escrever a equação como
Passo 5
Agora integramos ambos os lados com respeito a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. No lado direito precisamos calcular a integral
Vou calcular
com calma usando integração por partes duas vezes (método clássico). Seja
.
Escolhemos para a primeira integração por partes:
Aplicando integração por partes
, temos
Chame a nova integral de
Agora calcule
por partes também, escolhendo
Então
Voltando para a expressão de
,
Isolando
,
Logo
onde
é a constante de integração. Essa é a integral que precisávamos.
Passo 6
Voltando à integração do passo anterior, temos
Agora isolamos
dividindo por
:
Aqui
é a constante arbitrária de integração (trocar de nome não altera nada). Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Vamos checar rapidamente que a solução funciona (verificação). Tome
Calcule a derivada:
Somando
e
,
Os termos com
cancelam e os termos com
se cancelam também, sobrando
o que confirma que nossa solução está correta.