EDOs Lineares
\frac{d y}{d x}+y=\cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} + y = \cos x
ou seja, encontrar a função y(x) que satisfaz essa relação para todo x. Não foi dada nenhuma condição inicial, então devemos obter a solução geral, contendo uma constante arbitrária de integração.
Informações relevantes dadas:
\frac{dy}{dx} + y = \cos x.

Passo 2

Vamos escrever a equação em uma forma padrão e identificar os termos úteis. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Comparando com a nossa equação, temos
P(x)=1\quad\text{e}\quad Q(x)=\cos x.
Isso é importante porque há um método sistemático (o fator integrante) que usa P(x) para resolver a equação. Não vou pular etapas: vou mostrar cada passo desse método.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui P(x)=1, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.
Explico rápido: multiplicando toda a equação por \mu(x) conseguimos transformar o lado esquerdo em uma derivada de produto, o que facilita muito a integração.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{dy}{dx} + e^{x}y = e^{x}\cos x.
A ideia é reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y. De fato, usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y.
Portanto podemos escrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\cos x.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados com respeito a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int e^{x}\cos x\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para e^{x}y. No lado direito precisamos calcular a integral
I=\int e^{x}\cos x\,dx.
Vou calcular I com calma usando integração por partes duas vezes (método clássico). Seja I=\int e^{x}\cos x\,dx.
Escolhemos para a primeira integração por partes:
u=\cos x\quad\Rightarrow\quad du=-\sin x\,dx,
dv=e^{x}dx\quad\Rightarrow\quad v=e^{x}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
I = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx.
Chame a nova integral de
J=\int e^{x}\sin x\,dx.
Agora calcule J por partes também, escolhendo
u=\sin x\quad\Rightarrow\quad du=\cos x\,dx,
dv=e^{x}dx\quad\Rightarrow\quad v=e^{x}.
Então
J = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\sin x - I.
Voltando para a expressão de I,
I = e^{x}\cos x + J = e^{x}\cos x + \big(e^{x}\sin x - I\big).
Isolando I,
I + I = 2I = e^{x}(\sin x + \cos x).
Logo
I = \frac{e^{x}}{2}\,(\sin x + \cos x) + C,
onde C é a constante de integração. Essa é a integral que precisávamos.

Passo 6

Voltando à integração do passo anterior, temos
e^{x}y = \int e^{x}\cos x\,dx = \frac{e^{x}}{2}(\sin x + \cos x) + C.
Agora isolamos y dividindo por e^{x}:
y = \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) + C e^{-x}.
Aqui C é a constante arbitrária de integração (trocar de nome não altera nada). Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Vamos checar rapidamente que a solução funciona (verificação). Tome
y(x)=\frac{1}{2}(\sin x + \cos x) + C e^{-x}.
Calcule a derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(\cos x - \sin x) - C e^{-x}.
Somando y e \frac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}+y = \frac{1}{2}(\cos x - \sin x) - C e^{-x} + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) + C e^{-x}.
Os termos com C e^{-x} cancelam e os termos com \sin x se cancelam também, sobrando
\frac{dy}{dx}+y = \cos x,
o que confirma que nossa solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\big(\sin x+\cos x\big)+C e^{-x}

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