EDOs Lineares, passíveis de resolução pelo fator integrante. Verifiquem se é possível.
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}-\frac{\cot x}{x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y - \frac{\cot x}{x} = 0
que é da forma padrão
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x)
com p(x)=\frac{1}{x} e q(x)=\frac{\cot x}{x}. Vamos aplicar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\ln|x|\bigr) = x,
pressupondo x\neq0.

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por \mu(x)=x:
x\frac{dy}{dx} + y - \cot x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dy}{dx} + y = \cot x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x\,y, pois
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\frac{dy}{dx} + y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(x\,y) = \cot x \quad\Longrightarrow\quad x\,y = \int \cot x\,dx = \ln\bigl|\sin x\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = \frac{\ln\!\bigl|\sin x\bigr| + C}{x}.

Exercícios relacionados