EDOs Lineares, passíveis de resolução pelo fator integrante. Verifiquem se é possível.
\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+y=\arctan x

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
(1+x^{2})\frac{dy}{dx}+y=\arctan x
Isso é uma equação linear na forma geral
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Vamos verificar se dá para usar fator integrante e achar a solução geral.

Passo 2

Para pôr na forma padrão, dividimos tudo por 1+x^{2}:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{1+x^{2}}\,y=\frac{\arctan x}{1+x^{2}}.
Logo
P(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, \quad Q(x)=\frac{\arctan x}{1+x^{2}}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(\arctan x\bigr).

Passo 4

Multiplicando a EDO padrão por \mu(x) obtemos
e^{\arctan x}\,\frac{dy}{dx} +\frac{e^{\arctan x}}{1+x^{2}}\,y =\frac{e^{\arctan x}\,\arctan x}{1+x^{2}}.
O lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dx}\Bigl(y\,e^{\arctan x}\Bigr).

Passo 5

Integrando ambos os lados em x:
y\,e^{\arctan x} =\int \frac{e^{\arctan x}\,\arctan x}{1+x^{2}}\,dx + C.
Fazendo a substituição t=\arctan x, temos dt=dx/(1+x^{2}), então
\int e^{\arctan x}\,\frac{\arctan x}{1+x^{2}}\,dx =\int t\,e^{t}\,dt =t\,e^{t}-\int e^{t}\,dt =e^{t}(t-1)+C_{1}.
Voltando a x:
y\,e^{\arctan x} =e^{\arctan x}\bigl(\arctan x-1\bigr)+C.

Passo 6

Isolando y, dividimos por e^{\arctan x}:
y=\arctan x-1 + C\,e^{-\arctan x},
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x)=\arctan x-1 + C\,e^{-\arctan x},}
portanto a equação é linear com fator integrante \mu(x)=e^{\arctan x} e foi possível resolvê-la.

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