Resolver as seguintes equações diferenciais.
xy^4 dx + (y^2 + 2)e^(-3x) dy = 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x\,y^4\,dx + (y^2 + 2)\,e^{-3x}\,dy = 0.
Este tipo de equação é separável: podemos colocar tudo que envolve y multiplicando dy de um lado e tudo que envolve x multiplicando dx do outro.

Passo 2

Vamos escrever a equação no formato \frac{dy}{dx} = \dots. Dividindo por dx e isolando dy/dx, temos
(y^2 + 2)\,e^{-3x}\,\frac{dy}{dx} = -x\,y^4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x\,y^4\,e^{3x}}{y^2 + 2}.
Agora separamos as variáveis y e x em lados opostos:
\frac{y^2 + 2}{y^4}\,dy = -x\,e^{3x}\,dx.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo em relação a y:
\int \frac{y^2 + 2}{y^4}\,dy = \int \Bigl(y^{-2} + 2\,y^{-4}\Bigr)\,dy = \int y^{-2}\,dy + 2\int y^{-4}\,dy.
Como
\int y^{-2}\,dy = -y^{-1}, \quad \int y^{-4}\,dy = \frac{y^{-3}}{-3} = -\tfrac{1}{3}y^{-3},
segue que
\int \frac{y^2 + 2}{y^4}\,dy = -y^{-1} + 2\Bigl(-\tfrac{1}{3}y^{-3}\Bigr) = -\frac{1}{y} - \frac{2}{3y^3}.

Passo 4

Integramos o lado direito em relação a x:
\int -x\,e^{3x}\,dx.
Fazendo integração por partes com u = x, dv = e^{3x}dx,
v = \frac{e^{3x}}{3}, \quad du = dx,
obtém-se
\int x\,e^{3x}\,dx = x\frac{e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}\,dx = \frac{x\,e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}.
Portanto
\int -x\,e^{3x}\,dx = -\frac{x\,e^{3x}}{3} + \frac{e^{3x}}{9}.

Passo 5

Igualando as duas integrais e acrescentando a constante de integração C,
-\frac{1}{y} - \frac{2}{3y^3} = -\frac{x\,e^{3x}}{3} + \frac{e^{3x}}{9} + C.
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por -1:
\frac{1}{y} + \frac{2}{3y^3} = \frac{x\,e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + C',
onde C' = -C. Opcionalmente, escrevemos em forma um pouco mais limpa:
\frac{1}{y} + \frac{2}{3y^3} = \frac{e^{3x}(3x - 1)}{9} + C'.

Resposta

\boxed{\frac{1}{y} + \frac{2}{3y^3} = \frac{e^{3x}(3x - 1)}{9} + C,}
que é a solução geral implícita da equação dada.

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