Resolver as seguintes equações diferenciais.
xy^4 dx + (y^2 + 2)e^(-3x) dy = 0
xy^4 dx + (y^2 + 2)e^(-3x) dy = 0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este tipo de equação é separável: podemos colocar tudo que envolve
multiplicando
de um lado e tudo que envolve
multiplicando
do outro.
Passo 2
Vamos escrever a equação no formato
. Dividindo por
e isolando
, temos
Agora separamos as variáveis
e
em lados opostos:
Passo 3
Integramos o lado esquerdo em relação a
:
Como
segue que
Passo 4
Integramos o lado direito em relação a
:
Fazendo integração por partes com
,
,
obtém-se
Portanto
Passo 5
Igualando as duas integrais e acrescentando a constante de integração
,
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por
:
onde
. Opcionalmente, escrevemos em forma um pouco mais limpa:
Resposta
que é a solução geral implícita da equação dada.