EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes:
2y'' + 3y' - 2y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Substituímos y = e^{rx} na equação diferencial, o que leva à equação algébrica característica
2r^2 + 3r - 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
2r^2 + 3r - 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara, temos
r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot2\cdot(-2)}}{2\cdot2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}.
Logo, as raízes são
r_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \tfrac12, \quad r_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{\tfrac{x}{2}} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{\tfrac{x}{2}} + C_2 e^{-2x}.

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