EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = \cos x.
Conteúdo: resolução de equações lineares homogêneas e não-homogêneas com coeficientes constantes usando o método do polinômio de tentativa para a parte particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 4y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0,
que tem raízes repetidas r=-2. Logo, a solução homogênea é
y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é \cos x (cuja solução envolve \cos x e \sin x e não coincide com as soluções homogêneas), fazemos a tentativa
y_p = A\cos x + B\sin x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = -A\sin x + B\cos x,
y_p'' = -A\cos x - B\sin x.
Substituindo em y'' +4y'+4y obtemos
(-A\cos x - B\sin x) +4(-A\sin x + B\cos x) +4(A\cos x + B\sin x).
Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x
(3A + 4B)\cos x + (3B - 4A)\sin x = \cos x.

Passo 5

Igualando coeficientes em
(3A + 4B)\cos x + (3B - 4A)\sin x = 1\cdot\cos x + 0\cdot\sin x
vem o sistema
\begin{cases} 3A + 4B = 1,\\\\ -4A + 3B = 0, \end{cases}
cuja solução é
A = \frac{3}{25},\quad B = \frac{4}{25}.
Logo
y_p = \frac{3}{25}\cos x + \frac{4}{25}\sin x.

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea e da particular, ou seja
y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x} + \frac{3}{25}\cos x + \frac{4}{25}\sin x.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x} + \frac{3}{25}\cos x + \frac{4}{25}\sin x.

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