EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos achar primeiro a solução homogênea
resolvendo a equação característica e depois uma solução particular
para cada parcela do termo não homogêneo.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
e formamos a equação característica
Resolvendo, vemos que
, logo há raiz dupla
. Assim
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo
. Como
não é solução da homogênea, usamos
Calculando as derivadas,
e subtituindo em
:
Logo
Passo 4
Para o termo
usamos a forma
As derivadas são
Substituindo em
obtemos
que deve igualar
. Assim
Portanto
Passo 5
A solução particular total é
Somando com a homogênea, a solução geral fica