EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{x}+\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = e^x + \cos(x).
Vamos achar primeiro a solução homogênea y_h resolvendo a equação característica e depois uma solução particular y_p para cada parcela do termo não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' + 2y' + y = 0
e formamos a equação característica
r^2 + 2r + 1 = 0.
Resolvendo, vemos que (r+1)^2=0, logo há raiz dupla r=-1. Assim
y_h = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo e^x. Como e^x não é solução da homogênea, usamos
y_{p1} = A e^x.
Calculando as derivadas,
y_{p1}' = A e^x, \quad y_{p1}'' = A e^x,
e subtituindo em y''+2y'+y:
A e^x + 2A e^x + A e^x = 4A e^x \overset!= e^x \;\Longrightarrow\; A = \tfrac14.
Logo
y_{p1} = \tfrac14 e^x.

Passo 4

Para o termo \cos(x) usamos a forma
y_{p2} = B\cos(x) + C\sin(x).
As derivadas são
y_{p2}' = -B\sin(x) + C\cos(x), \quad y_{p2}'' = -B\cos(x) - C\sin(x).
Substituindo em y''+2y'+y obtemos
(-B\cos - C\sin) + 2(-B\sin + C\cos) + (B\cos + C\sin) = 2C\cos(x) - 2B\sin(x)
que deve igualar \cos(x). Assim
2C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac12, \qquad -2B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.
Portanto
y_{p2} = \tfrac12 \sin(x).

Passo 5

A solução particular total é
y_p = y_{p1} + y_{p2} = \tfrac14 e^x + \tfrac12 \sin(x).
Somando com a homogênea, a solução geral fica
y = y_h + y_p = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x} + \tfrac14 e^x + \tfrac12 \sin(x).

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x} + \tfrac14 e^x + \tfrac12 \sin(x).

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