EDO’s de segunda ordem:
Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, reduzindo a equação à primeira ordem em v :
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sin (x)

Passo 1

A equação que queremos resolver é
\frac{d^2 y}{dx^2} = \sin(x).
A ideia é usar a substituição
v = \frac{dy}{dx}
para reduzir a ordem da ODE, pois então
\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dv}{dx},
tornando-se uma equação de primeira ordem em v.

Passo 2

Substituindo na equação original, obtemos
\frac{dv}{dx} = \sin(x).
Pronto: agora temos uma EDO de primeira ordem em v(x).

Passo 3

Para encontrar v(x), integramos ambos os lados em relação a x:
v(x) = \int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração.

Passo 4

Voltamos à relação v = \frac{dy}{dx}. Logo
\frac{dy}{dx} = -\cos(x) + C_{1}.
Integrando de novo, temos
y(x) = \int \bigl(-\cos(x)+C_{1}\bigr)\,dx = -\sin(x) + C_{1}\,x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Resposta

y(x) = -\sin(x) + C_{1}\,x + C_{2}.

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