Resolver as seguintes EDO’s Lineares
\frac{d y}{d x}-\frac{2}{x} y=x^{3} y^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,y = x^{3}y^{3},
que é uma EDO do tipo de Bernoulli, pois está na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=-\tfrac{2}{x}, Q(x)=x^{3} e n=3. Vamos usar o método de Bernoulli, que faz uma substituição para transformar em uma EDO linear.

Passo 2

Dividimos a equação original por y^{3} (supondo y\neq0):
y^{-3}\,\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}\,y^{-2} = x^{3}.
A substituição é
u = y^{1-n} = y^{-2}.
Precisamos relacionar du/dx com y^{-3}\,dy/dx.

Passo 3

Calculamos du/dx:
u = y^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad y^{-3}\,\frac{dy}{dx} = -\tfrac12\,\frac{du}{dx}.
Substituindo em
y^{-3}\,\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}\,y^{-2} = x^{3}
vemos que
-\tfrac12\,\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}\,u = x^{3}.

Passo 4

Multiplicando tudo por -2 para obter uma EDO linear em u:
\frac{du}{dx} + \frac{4}{x}\,u = -2\,x^{3}.
Aqui P_{u}(x)=4/x e Q_{u}(x)=-2x^{3}.

Passo 5

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{4}{x}\,dx\Bigr) = x^{4}.
Multiplicando a EDO por x^{4}
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}u\bigr) = -2\,x^{7}.
Integrando ambos os lados:
x^{4}u = \int -2\,x^{7}\,dx = -\frac{x^{8}}{4} + C,
onde C é a constante de integração. Assim
u = -\frac{x^{4}}{4} + C\,x^{-4}.

Passo 6

Volta à variável y:
y^{-2} = u = -\frac{x^{4}}{4} + C\,x^{-4}.
Invertemos e simplificamos para achar y:
y^{2} = \frac{1}{-\tfrac{x^{4}}{4} + C\,x^{-4}} = \frac{4\,x^{4}}{4C - x^{8}},
portanto
y(x) = \pm \frac{2\,x^{2}}{\sqrt{4C - x^{8}}},
com 4C - x^{8}>0 para o denominador real.

Resposta

y(x) = \pm \frac{2\,x^{2}}{\sqrt{4C - x^{8}}},
onde C é constante de integração.

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