Resolver as seguintes EDO’s Lineares
\frac{d y}{d x}+\tan (x) y=\sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + \tan(x)\,y = \sin(2x).
Este tipo de equação tem a forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x)=\tan(x) e Q(x)=\sin(2x). Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \tan(x)\,dx\Bigr).
Como \int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr|, temos
\mu(x) = e^{-\ln|\cos(x)|} = \frac{1}{\cos(x)}.

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por \mu(x):
\frac{1}{\cos(x)}\frac{dy}{dx} + \frac{\tan(x)}{\cos(x)}\,y = \frac{\sin(2x)}{\cos(x)}.
O lado esquerdo se torna derivada do produto:
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{\cos(x)}\Bigr) = \frac{\sin(2x)}{\cos(x)}.
Mas \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), então
\frac{\sin(2x)}{\cos(x)} = 2\sin(x).
Integrando ambos os lados em relação a x:
\frac{y}{\cos(x)} = \int 2\sin(x)\,dx = -2\cos(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos
y = \cos(x)\bigl(-2\cos(x) + C\bigr) = -2\cos^2(x) + C\cos(x).

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C\cos(x) - 2\cos^2(x),
onde C é constante arbitrária.

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