Resolver as seguintes EDO’s Lineares
\frac{d y}{d x}+\frac{3}{x} y=\frac{1}{x^{2}} y^{2}, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}\,y = \frac{1}{x^2}\,y^2, \quad x>0.
Isto é uma equação de Bernoulli com n=2, que se transforma em uma equação linear via a substituição v = y^{1-n}=y^{-1}.

Passo 2

Identificamos na forma padrão
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x)\,y^n
os termos
p(x)=\frac{3}{x}, \quad q(x)=\frac{1}{x^2}, \quad n=2.

Passo 3

Fazemos a substituição
v = y^{1-2} = y^{-1}.
Diferenciando,
\frac{dv}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Substituindo \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2}y^2-\frac{3}{x}y em \frac{dv}{dx}
\frac{dv}{dx} = -y^{-2}\Bigl(\frac{1}{x^2}y^2 - \frac{3}{x}y\Bigr) = -\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x}\,y^{-1} = -\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x}\,v.
Reorganizando, obtemos a equação linear
\frac{dv}{dx} - \frac{3}{x}\,v = -\frac{1}{x^2}.

Passo 5

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(-\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-3\ln x) = x^{-3}.
Multiplicando a equação por x^{-3} resulta em
x^{-3}\frac{dv}{dx} - 3x^{-4}v = -x^{-5} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(v\,x^{-3}\bigr) = -\,x^{-5}.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
v\,x^{-3} = \int -x^{-5}\,dx = \frac{1}{4}\,x^{-4} + C.
Logo
v = x^3\Bigl(\tfrac{1}{4}x^{-4} + C\Bigr) = \frac{1}{4x} + C\,x^3.

Passo 7

Voltando à variável y com v=1/y:
\frac{1}{y} = \frac{1}{4x} + C\,x^3 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{\frac{1}{4x} + C\,x^3} = \frac{4x}{1 + 4C\,x^4}.
Renomeando a constante K=4C, obtemos a solução geral.

Resposta

y(x) = \frac{4x}{1 + K\,x^{4}}, \quad K\in\mathbb{R}, \;x>0.

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