Nos Problemas 49 e 50 , encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.
Passo 1
A gente tem a equação diferencial
com condição inicial
. O conteúdo é separação de variáveis e uso de frações parciais para integrar.
Passo 2
Reorganizo para separar variáveis:
Passo 3
Faço a decomposição em frações parciais para integrar
:
Passo 4
Integro ambos os lados:
Isso dá
Passo 5
Multiplico por 6 e exponencio para ficar em forma explícita:
lnl|y-3y+3r| = 6x + C' implies y-3y+3 = K e^6x, onde
K = e^C' .
Passo 6
Isolo
y :
y - 3 = K e^6x(y + 3) implies y(1 - K e^6x) = 3(1 + K e^6x) implies y = 31 + K e^6x1 - K e^6x
Passo 7
Aplico a condição inicial
y(0)=0 :
0 = 31 + K1 - K implies 1 + K = 0 implies K = -1 Substituindo em
y(x) :
y(x) = 31 - e^6x1 + e^6x