Nos Problemas 49 e 50 , encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.
d yd x-y^2=-9
(0,0)

Passo 1

A gente tem a equação diferencial dydx - y^2 = -9 com condição inicial (0,0). O conteúdo é separação de variáveis e uso de frações parciais para integrar.

Passo 2

Reorganizo para separar variáveis: dydx = y^2 - 9 implies dyy^2-9 = dx

Passo 3

Faço a decomposição em frações parciais para integrar 1y^2-9: 1y^2-9 = 16l(1y-3 - 1y+3r)

Passo 4

Integro ambos os lados: integral dyy^2-9 = 16integral l(1y-3 - 1y+3r)dy = x + C Isso dá 16lnl|y-3y+3r| = x + C

Passo 5

Multiplico por 6 e exponencio para ficar em forma explícita: lnl|y-3y+3r| = 6x + C' implies y-3y+3 = K e^6x, onde K = e^C'.

Passo 6

Isolo y: y - 3 = K e^6x(y + 3) implies y(1 - K e^6x) = 3(1 + K e^6x) implies y = 31 + K e^6x1 - K e^6x

Passo 7

Aplico a condição inicial y(0)=0: 0 = 31 + K1 - K implies 1 + K = 0 implies K = -1 Substituindo em y(x): y(x) = 31 - e^6x1 + e^6x

Resposta

y(x) = 3,1 - e^6x1 + e^6x

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