(EEAR) A função \mathrm{f}: \Re \rightarrow \Re, definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{x}+3} tem conjunto domínio A igual a
a) \{x \in \Re / x \leq 1 ou x \geq 3\}
b) \{x \in \Re / x<1 ou x>3\}
c) \{x \in \Re / x \leq-3 ou x>-1\}
d) \{\mathrm{x} \in \Re / \mathrm{x} \leq-3 ou \mathrm{x} \geq-1\}

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}:\Re \to \Re definida por
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}^{2}+4\mathrm{x}+3}
e pergunta qual é o conjunto domínio A dessa função. As alternativas oferecidas são:
a) \{x \in \Re \mid x \leq 1 \text{ ou } x \geq 3\}
b) \{x \in \Re \mid x<1 \text{ ou } x>3\}
c) \{x \in \Re \mid x \leq-3 \text{ ou } x>-1\}
d) \{x \in \Re \mid x \leq-3 \text{ ou } x \geq-1\}

Passo 2

Primeiro conceito importante: para que a raiz quadrada de um número real seja um número real, o radicando precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
\mathrm{x}^{2}+4\mathrm{x}+3 \ge 0.
Portanto o domínio A é o conjunto de todos os x\in\Re que satisfazem essa desigualdade.

Passo 3

Agora vamos manipular a expressão do radicando para resolver a desigualdade. Observe que o polinômio é quadrático e pode ser fatorado. Procuramos dois números cuja soma é 4 e produto é 3. Esses números são 1 e 3. Assim
\mathrm{x}^{2}+4\mathrm{x}+3=(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3).
Logo a desigualdade vira
(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3)\ge 0.
Os zeros do produto são \mathrm{x}=-1 e \mathrm{x}=-3.

Passo 4

Para resolver (\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3)\ge 0 usamos o método da análise de sinais: as raízes -3 e -1 dividem a reta real em três intervalos:
(-\infty,-3),\quad (-3,-1),\quad (-1,\infty).
Em cada intervalo o sinal de cada fator \mathrm{x}+3 e \mathrm{x}+1 é constante, então o sinal do produto é constante. Testamos pontos fáceis:
  • Em \mathrm{x}=-4 (no intervalo (-\infty,-3)): \mathrm{x}+3=-1<0 e \mathrm{x}+1=-3<0. Produto de dois negativos é positivo, logo (\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3)>0 aqui.
  • Em \mathrm{x}= -2 (no intervalo (-3,-1)): \mathrm{x}+3=1>0 e \mathrm{x}+1=-1<0. Produto é negativo, logo (\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3)<0 aqui.
  • Em \mathrm{x}=0 (no intervalo (-1,\infty)): \mathrm{x}+3=3>0 e \mathrm{x}+1=1>0. Produto positivo, logo (\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3)>0 aqui.
Como queremos (\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3)\ge 0, aceitamos os intervalos onde o produto é positivo e também os pontos onde é zero (as raízes). Assim as soluções são
\mathrm{x}\le -3 \quad\text{ou}\quad \mathrm{x}\ge -1.

Passo 5

Portanto o domínio A da função é
A=\{x\in\Re \mid x\le -3 \text{ ou } x\ge -1\}.
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa d).

Resposta

d) \{x\in\Re \mid x\le -3 \text{ ou } x\ge -1\}

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