Obtenta a Solucave - gral real de cada EDO:
y^{\prime \prime}+4 y=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'' + 4y = x
e pede para obter a solução geral real dessa EDO.\n
Informações relevantes fornecidas:
  1. A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  2. O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,x (grau 1).
  3. A incógnita é a função y(x) dependente de x.
    A tarefa é encontrar a solução geral real y(x) que satisfaça a equação.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (essa parte dá a solução complementar). A equação homogênea é
y'' + 4y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituímos y \sim e^{r x}, obtendo
r^2 + 4 = 0.
Resolvendo a equação característica:
r^2 = -4 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 2i.
Explicando isso de modo bem didático: as raízes são complexas conjugadas r = 0 \pm 2i (equivalente a r=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=2). Quando a equação característica tem raízes complexas conjuntas \alpha\pm i\beta, a parte real da solução geral da homogênea é
y_c(x) = C_1 e^{\alpha x}\cos(\beta x) + C_2 e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui \alpha=0, então e^{\alpha x}=1, e obtemos
y_c(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. (Motivação rápida: e^{(0+2i)x}= \cos(2x)+i\sin(2x) pela fórmula de Euler, e as combinações lineares reais produzem cos e sin.)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(x) da equação completa
y'' + 4y = x.
Método escolhido: coeficientes indeterminados (é o mais simples aqui porque o lado direito é um polinômio). Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau n, tentamos uma solução particular polinomial de grau n. O lado direito é \,x (grau 1), então tentamos um ansatz
y_p(x) = ax + b,
com a,b desconhecidos. Antes de usar esse ansatz, verificamos se há ressonância: se algum termo do ansatz pertence ao espaço das soluções da homogênea. Aqui a homogênea tem funções \cos(2x) e \sin(2x), que não são polinômios; portanto não há ressonância e podemos usar diretamente ax+b.
Calcule as derivadas:
y_p'(x) = a,\qquad y_p''(x) = 0.
Substituindo na equação:
0 + 4(ax + b) = x.
Isto dá a identidade polinomial
4a x + 4b = x.
Igualamos coeficientes de potências de x: coeficiente de x: 4a = 1 e termo constante: 4b = 0. Assim
a = \frac{1}{4},\qquad b = 0.
Portanto
y_p(x) = \frac{1}{4}x.

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da solução complementar com a particular:
y(x) = y_c(x) + y_p(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{4}x,
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.
Para ficar tranquilo, a gente faz uma verificação rápida: calcule y''+4y para essa y. As derivadas das partes trigonométricas produzem -4C_1\cos(2x)-4C_2\sin(2x); somando 4y essas partes se anulam, sobrando apenas 4\cdot\frac{1}{4}x=x, que é exatamente o lado direito. Logo está correto.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{4}x

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