Obtenta a Solucave - gral real de cada EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para obter a solução geral real dessa EDO.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio
(grau 1). - A incógnita é a função
dependente de .
A tarefa é encontrar a solução geral realque satisfaça a equação.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (essa parte dá a solução complementar). A equação homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituímos
, obtendo
Resolvendo a equação característica:
Explicando isso de modo bem didático: as raízes são complexas conjugadas
(equivalente a
com
e
). Quando a equação característica tem raízes complexas conjuntas
, a parte real da solução geral da homogênea é
Aqui
, então
, e obtemos
onde
e
são constantes reais arbitrárias. (Motivação rápida:
pela fórmula de Euler, e as combinações lineares reais produzem cos e sin.)
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
Método escolhido: coeficientes indeterminados (é o mais simples aqui porque o lado direito é um polinômio). Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau
, tentamos uma solução particular polinomial de grau
. O lado direito é
(grau 1), então tentamos um ansatz
com
desconhecidos. Antes de usar esse ansatz, verificamos se há ressonância: se algum termo do ansatz pertence ao espaço das soluções da homogênea. Aqui a homogênea tem funções
e
, que não são polinômios; portanto não há ressonância e podemos usar diretamente
.
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação:
Isto dá a identidade polinomial
Igualamos coeficientes de potências de
: coeficiente de
:
e termo constante:
. Assim
Portanto
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma da solução complementar com a particular:
com
.
Para ficar tranquilo, a gente faz uma verificação rápida: calcule
para essa
. As derivadas das partes trigonométricas produzem
; somando
essas partes se anulam, sobrando apenas
, que é exatamente o lado direito. Logo está correto.