Obtenta a Solucave - gral real de cada EDO:
y^{\prime \prime}+4 y=x \cdot \cos (x) (Prova)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral real da equação diferencial ordinária de segunda ordem
y'' + 4y = x\cos(x).
Informações dadas:
\text{EDO: } y'' + 4y = x\cos(x).
O que se pede: a solução geral real y(x) (ou seja, a combinação da solução geral da homogênea com uma solução particular da não-homogênea).

Passo 2

Escolha do método: como o lado direito é um produto polinômio por função trigonométrica ( x\cos x), o método das coeficientes indeterminados é o mais prático aqui. Ideia: achar primeiro a solução da homogênea associada e depois propor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos a ajustar. Vou justificar que essa escolha é válida: o operador linear com coeficientes constantes aplicado a soma de funções do tipo polinômio·coseno/seno tem imagem também somável, então podemos tentar um ansatz polinomial nas combinações de \cos x e \sin x.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada
y_h'' + 4y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0,
cuja raízes são
r = \pm 2i.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes reais.

Passo 4

Propor um ansatz para a solução particular y_p.
Como a força é x\cos x (polinômio de grau 1 multiplicando \cos x), a forma usual a tentar é um polinômio de grau 1 para cada uma das partes \cos x e \sin x:
y_p(x) = (A x + B)\cos x + (C x + D)\sin x,
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Antes de prosseguir, verifico ressonância: funções \cos x,\sin x correspondem a raízes \pm i da característica; a homogênea tem raízes \pm 2i, diferentes de \pm i. Logo não há ressonância que force multiplicar o ansatz por potências de x. Assim o ansatz acima é adequado.

Passo 5

Calcular y_p' detalhadamente.
Começo derivando termo a termo.
Derivada de (A x + B)\cos x:
\frac{d}{dx}\big((A x + B)\cos x\big) = A\cos x - (A x + B)\sin x.
Derivada de (C x + D)\sin x:
\frac{d}{dx}\big((C x + D)\sin x\big) = C\sin x + (C x + D)\cos x.
Somando:
y_p'(x) = \big(Cx + A + D\big)\cos x + \big(-Ax + C - B\big)\sin x.

Passo 6

Calcular y_p'' detalhadamente.
Derivo cada termo de y_p'.
Derivada de \big(Cx + A + D\big)\cos x:
\frac{d}{dx}\big((C x + A + D)\cos x\big) = C\cos x - (C x + A + D)\sin x.
Derivada de \big(-Ax + C - B\big)\sin x:
\frac{d}{dx}\big((-A x + C - B)\sin x\big) = -A\sin x + (-A x + C - B)\cos x.
Somando:
y_p''(x) = \big(-A x + 2C - B\big)\cos x + \big(-C x - 2A - D\big)\sin x.

Passo 7

Formar y_p'' + 4y_p e agrupar termos em \cos x e \sin x.
Escrevo 4y_p:
4y_p = 4(A x + B)\cos x + 4(C x + D)\sin x.
Agora somo com y_p'':
y_p'' + 4y_p = \big(-A x + 2C - B\big)\cos x + \big(-C x - 2A - D\big)\sin x + 4(A x + B)\cos x + 4(C x + D)\sin x.
Agrupando coeficientes de x e constantes em \cos x e \sin x:
y_p'' + 4y_p = \big(3A x + (2C + 3B)\big)\cos x + \big(3C x + (-2A + 3D)\big)\sin x.

Passo 8

Impor que [y_p’’ + 4y_p = x\cos x) e resolver para A,B,C,D.
A igualdade significa:
\big(3A x + (2C + 3B)\big)\cos x + \big(3C x + (-2A + 3D)\big)\sin x = x\cos x + 0\cdot\sin x.
Comparando coeficientes de x\cos x, \cos x, x\sin x, \sin x obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 3A = 1,\\[4pt] 2C + 3B = 0,\\[4pt] 3C = 0,\\[4pt] -2A + 3D = 0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
3A = 1 \implies A = \frac{1}{3}.
3C = 0 \implies C = 0.
Com C=0\], da segunda equação: \[2\cdot 0 + 3B = 0 \implies B = 0.\] Com \(A=\frac{1}{3}, da quarta equação:
-2\cdot\frac{1}{3} + 3D = 0 \implies 3D = \frac{2}{3} \implies D = \frac{2}{9}.]

Passo 9

Escrever a solução particular e a solução geral.
Com os coeficientes encontrados A=\dfrac{1}{3}, B=0, C=0, D=\dfrac{2}{9}, a solução particular é
y_p(x) = \frac{1}{3}x\cos x + \frac{2}{9}\sin x.
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{3}x\cos x + \frac{2}{9}\sin x.
(pequena observação encorajadora: se ficar na dúvida, você pode verificar substituindo y_p na equação para conferir que produz x\cos x.)

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{3}x\cos x+\dfrac{2}{9}\sin x

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