Efectua as operações e simplifica os resultados das seguintes expressões:
\quad \sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12}+3 \sqrt[3]{54}-7 \sqrt[3]{250}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular e simplificar a expressão com radicais:
\sqrt{27} + \sqrt{48} - \sqrt{12} + 3 \sqrt[3]{54} - 7 \sqrt[3]{250}.
Esse problema envolve simplificar raízes quadradas e cúbicas usando fatoração em primos para extrair fatores perfeitos.

Passo 2

Para a parte das raízes quadradas, fatoramos os radicandos e usamos \sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}:
\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot3} = 3\sqrt{3},
\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot3} = 4\sqrt{3},
\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot3} = 2\sqrt{3}.
Somando esses termos:
3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (3 + 4 - 2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}.

Passo 3

Para as raízes cúbicas, fatoramos e usamos \sqrt[3]{a^3 b} = a\sqrt[3]{b}:
\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot2} = 3\sqrt[3]{2},
\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125\cdot2} = 5\sqrt[3]{2}.
Multiplicando pelos coeficientes:
3\sqrt[3]{54} = 3\cdot(3\sqrt[3]{2}) = 9\sqrt[3]{2},
7\sqrt[3]{250} = 7\cdot(5\sqrt[3]{2}) = 35\sqrt[3]{2}.
Como há um sinal de menos no enunciado, fica
9\sqrt[3]{2} - 35\sqrt[3]{2} = (9 - 35)\sqrt[3]{2} = -26\sqrt[3]{2}.

Passo 4

Reunindo os resultados das partes quadrática e cúbica, obtemos
5\sqrt{3} - 26\sqrt[3]{2}.

Resposta

5\sqrt{3} - 26\sqrt[3]{2}

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