Efectua as operações e simplifica os resultados das seguintes expressões:
\quad\left(\frac{x^{2}-(y+x)(x+y)+x y}{2 y+2 x}\right)^{-1} \cdot\left(x+\frac{y-x}{1+x y}\right) \div\left(\frac{1}{1+x y}\right)

Passo 1

Resumindo, queremos simplificar a expressão
\left(\frac{x^2-(y+x)(x+y)+xy}{2y+2x}\right)^{-1}\;\cdot\;\left(x+\frac{y-x}{1+xy}\right)\;\div\;\left(\frac{1}{1+xy}\right).
O conteúdo envolve simplificar expressões racionais, usar inversão de fração e divisão de frações.

Passo 2

Simplificamos o numerador da primeira fração:
x^2-(y+x)(x+y)+xy = x^2-(x+y)^2+xy = x^2-\bigl(x^2+2xy+y^2\bigr)+xy = -xy-y^2 = -y(x+y).
O denominador é
2y+2x = 2(x+y),
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\frac{x^2-(y+x)(x+y)+xy}{2y+2x} = \frac{-y(x+y)}{2(x+y)} = -\frac{y}{2}.

Passo 3

Tomando o inverso dessa fração, obtemos
\bigl(-\tfrac{y}{2}\bigr)^{-1} = -\frac{2}{y}.

Passo 4

Agora simplificamos
x+\frac{y-x}{1+xy} = \frac{x(1+xy)+(y-x)}{1+xy} = \frac{x + x^2y + y - x}{1+xy} = \frac{y(x^2+1)}{1+xy}.
Em seguida dividimos por \tfrac{1}{1+xy}, que equivale a multiplicar por (1+xy):
\frac{y(x^2+1)}{1+xy}\;\div\;\frac{1}{1+xy} = \frac{y(x^2+1)}{1+xy}\cdot(1+xy) = y(x^2+1).

Passo 5

Multiplicamos o resultado do passo 3 pelo do passo 4:
-\frac{2}{y}\;\cdot\;y(x^2+1) = -2(x^2+1).

Resposta

-2(x^2+1)

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