Efeito Hall (Quantitativo). Considere o modelo de Drude cuja equação é dada por
m_{e} \frac{d}{d t} \vec{v}_{m e d}=f_{e x t}-\frac{m_{e}}{\tau} \vec{v}_{m e d}
com f_{\text {ext }}=q\left[\vec{E}+\vec{v}_{\text {med }} \times \vec{B}\right]. Seja \vec{E}=E_{x} \hat{i}+ E_{x} \hat{j} e \vec{B}=B \hat{k}. Considere o regime estacionário, m_{e} \frac{d}{d t} \vec{v}_{\text {med }}=0 e obtenha o coeficiente de Hall e a magnetorresistência.

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo de Drude com a equação
m_{e}\,\frac{d}{dt}\,\vec v_{\rm med} = q\bigl(\vec E+\vec v_{\rm med}\times\vec B\bigr) -\frac{m_{e}}{\tau}\,\vec v_{\rm med},
onde \vec E=E_x\hat i+E_y\hat j e \vec B=B\hat k. Em regime estacionário ( \tfrac{d\vec v}{dt}=0) queremos achar o coeficiente de Hall R_H e a magnetorresistência.

Passo 2

Em regime estacionário a equação vira
0 = q\bigl(\vec E+\vec v\times\vec B\bigr)-\frac{m_e}{\tau}\,\vec v.
Dividindo por m_e e definindo a mobilidade \mu=\frac{q\tau}{m_e}, obtemos
\vec v = \mu\,\vec E + \mu\,\vec v \times \vec B.

Passo 3

O produto vetorial com \vec B=B\hat k é
\vec v\times\vec B = -\,v_xB\,\hat j + v_yB\,\hat i.
Logo as componentes satisfazem
v_x = \mu E_x + \mu B\,v_y, \quad v_y = \mu E_y - \mu B\,v_x.

Passo 4

Para obter o efeito Hall impomos j_y=nq\,v_y=0, ou seja v_y=0. Da segunda equação segue
0 = \mu E_y - \mu B\,v_x \;\;\Longrightarrow\;\; E_y = B\,v_x.
Da primeira com v_y=0 vem v_x=\mu E_x, então
E_y = B\,\mu E_x.
Como j_x=nq\,v_x=nq\mu E_x, o coeficiente de Hall é
R_H = \frac{E_y}{\,j_x\,B} = \frac{\mu E_x\,B}{nq\mu E_x\,B} = \frac{1}{nq}.

Passo 5

Para a magnetorresistência tomamos E_y=0 e resolvemos
v_x = \mu E_x + \mu B\,v_y, \quad v_y = -\,\mu B\,v_x.
Eliminando v_y obtemos
v_x = \frac{\mu}{1+\mu^2B^2}\,E_x.
Assim a condutividade longitudinal é
\sigma_{xx}(B) = nq\,\frac{v_x}{E_x} = \frac{nq\mu}{1+\mu^2B^2},
e a resistividade
\rho_{xx}(B) = \frac{1}{\sigma_{xx}(B)} = \frac{1+\mu^2B^2}{nq\mu} = \rho_0\bigl(1+\mu^2B^2\bigr),
onde \rho_0=1/(nq\mu). A magnetorresistência relativa é
\frac{\Delta\rho}{\rho_0} = \frac{\rho_{xx}(B)-\rho_0}{\rho_0} = \mu^2B^2.

Resposta

O coeficiente de Hall é
R_H = \frac{1}{nq},
e a magnetorresistência relativa é
\frac{\Delta\rho}{\rho_0} = \mu^2 B^2.

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