(a) Quais são as limitações do modelo de Drude?
(b) Esse modelo é capaz de explicar semicondutores e supercondutores?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre as limitações do modelo de Drude e se esse modelo consegue explicar semicondutores e supercondutores. O conteúdo é o modelo clássico de condução em metais, que trata os elétrons como um gás de partículas livres sujeitas a colisões caracterizadas por um tempo de relaxação \tau. Para responder precisaremos recapitular os pressupostos do modelo e confrontá-los com fenômenos que exigem física quântica ou teoria de bandas.

Passo 2

Vamos listar os pressupostos básicos do modelo de Drude e mostrar por que eles geram limitações:
  • Os elétrons são partículas clássicas que seguem estatística de Maxwell–Boltzmann.
  • Entre colisões, movem-se livremente sob a ação de campos elétricos e magnéticos, com equação de movimento m\,\dot v = -eE - m v/\tau.
  • O tempo médio entre colisões \tau é constante (independente de energia ou temperatura).
  • O potencial do retículo cristalino é substituído por um “mar” uniforme de cargas positivas fixas (approx. jellium).
Desses pressupostos decorrem expressões simples como
\sigma = \frac{n e^2 \tau}{m},
mas também várias previsões que não se confirmam experimentalmente.

Passo 3

Abaixo alguns fenômenos que o modelo de Drude não explica corretamente:
  • Dependência da condutividade elétrica com temperatura: Drude prevê \rho\propto1/\tau sem dizer como \tau varia com T, então não captura o comportamento \rho\sim T^5 a baixas temperaturas nem as variações reais em metais.
  • Lei de Wiedemann–Franz: Drude dá uma razão constante \kappa/(\sigma T), mas o valor quantitativo e sua variação real não batem com dados.
  • Efeito Hall: Drude prevê o coeficiente de Hall R_H = -1/(ne), mas muitos metais exibem sinais ou magnitudes diferentes, sinal de que há elétrons e lacunas e banda complexa.
  • Magnetoresistência e propriedades magnéticas: o modelo não trata dispersão de bandas nem efeitos quânticos de Landau.

Passo 4

Semicondutores exigem teoria de bandas e estatística de Fermi–Dirac para explicar a existência de lacunas de energia, portadores n e p com concentrações que variam exponencialmente em T, mobilidades diferentes, dopagem, etc. Como o modelo de Drude não incorpora banda proibida nem distribuição de Fermi, ele não consegue prever:
  • Concentração de portadores intrínsecos \propto e^{-E_g/(2k_BT)}.
  • Mobilidade distinta de elétrons e lacunas nem dependência de dopantes.
Portanto, Drude falha em descrever semicondutores.

Passo 5

Supercondutores apresentam propriedades quânticas coletivas: resistência zero, efeito Meissner, gap de energia e pares de Cooper. Estes só emergem de uma teoria quântica de muitos corpos (p.ex. BCS). O modelo de Drude, por ser puramente clássico e não considerar emparelhamento ou coerência quântica, não pode explicar superconductividade.

Resposta

(a) O modelo de Drude falha por usar estatística clássica, desprezar o potencial periódico do retículo e assumir um único tempo de relaxação constante, o que leva a previsões erradas para a dependência de T da resistividade, lei de Wiedemann–Franz, coeficiente de Hall e outras propriedades.
(b) Não. Drude não contempla banda proibida nem efeitos quânticos coletivos, logo não explica semicondutores nem supercondutores.

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