(a) Quais são as limitações do modelo de Drude?
(b) Esse modelo é capaz de explicar semicondutores e supercondutores?
(b) Esse modelo é capaz de explicar semicondutores e supercondutores?
Passo 1
O enunciado pergunta sobre as limitações do modelo de Drude e se esse modelo consegue explicar semicondutores e supercondutores. O conteúdo é o modelo clássico de condução em metais, que trata os elétrons como um gás de partículas livres sujeitas a colisões caracterizadas por um tempo de relaxação
. Para responder precisaremos recapitular os pressupostos do modelo e confrontá-los com fenômenos que exigem física quântica ou teoria de bandas.
Passo 2
Vamos listar os pressupostos básicos do modelo de Drude e mostrar por que eles geram limitações:
- Os elétrons são partículas clássicas que seguem estatística de Maxwell–Boltzmann.
- Entre colisões, movem-se livremente sob a ação de campos elétricos e magnéticos, com equação de movimento
. - O tempo médio entre colisões
é constante (independente de energia ou temperatura). - O potencial do retículo cristalino é substituído por um “mar” uniforme de cargas positivas fixas (approx. jellium).
Desses pressupostos decorrem expressões simples como
mas também várias previsões que não se confirmam experimentalmente.
Passo 3
Abaixo alguns fenômenos que o modelo de Drude não explica corretamente:
- Dependência da condutividade elétrica com temperatura: Drude prevê
sem dizer como varia com , então não captura o comportamento a baixas temperaturas nem as variações reais em metais. - Lei de Wiedemann–Franz: Drude dá uma razão constante
, mas o valor quantitativo e sua variação real não batem com dados. - Efeito Hall: Drude prevê o coeficiente de Hall
, mas muitos metais exibem sinais ou magnitudes diferentes, sinal de que há elétrons e lacunas e banda complexa. - Magnetoresistência e propriedades magnéticas: o modelo não trata dispersão de bandas nem efeitos quânticos de Landau.
Passo 4
Semicondutores exigem teoria de bandas e estatística de Fermi–Dirac para explicar a existência de lacunas de energia, portadores
e
com concentrações que variam exponencialmente em
, mobilidades diferentes, dopagem, etc. Como o modelo de Drude não incorpora banda proibida nem distribuição de Fermi, ele não consegue prever:
- Concentração de portadores intrínsecos
. - Mobilidade distinta de elétrons e lacunas nem dependência de dopantes.
Portanto, Drude falha em descrever semicondutores.
Passo 5
Supercondutores apresentam propriedades quânticas coletivas: resistência zero, efeito Meissner, gap de energia e pares de Cooper. Estes só emergem de uma teoria quântica de muitos corpos (p.ex. BCS). O modelo de Drude, por ser puramente clássico e não considerar emparelhamento ou coerência quântica, não pode explicar superconductividade.
Resposta
(a) O modelo de Drude falha por usar estatística clássica, desprezar o potencial periódico do retículo e assumir um único tempo de relaxação constante, o que leva a previsões erradas para a dependência de
da resistividade, lei de Wiedemann–Franz, coeficiente de Hall e outras propriedades.
(b) Não. Drude não contempla banda proibida nem efeitos quânticos coletivos, logo não explica semicondutores nem supercondutores.
(b) Não. Drude não contempla banda proibida nem efeitos quânticos coletivos, logo não explica semicondutores nem supercondutores.