Utilizando a força de Lorentz prove que a força magética não realiza trabalho. Discuta o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a força magnética não realiza trabalho utilizando a força de Lorentz. O conteúdo é eletromagnetismo clássico, mais especificamente a definição de trabalho e potência e a lei da força de Lorentz.

Passo 2

A força de Lorentz que age sobre uma carga q é
\mathbf{F} = q\,\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
A componente puramente magnética dessa força é
\mathbf{F}_{m} = q\,\bigl(\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).

Passo 3

O trabalho dW realizado por uma força \mathbf{F} durante um deslocamento infinitesimal d\mathbf{r} é definido por
dW = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
A potência instantânea é
P = \frac{dW}{dt} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v},
pois d\mathbf{r} = \mathbf{v}\,dt.

Passo 4

Para a força magnética temos
P_{m} = \mathbf{F}_{m}\cdot\mathbf{v} = q\,\bigl(\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\mathbf{v}.

Passo 5

Usamos a identidade vetorial \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0. Assim
P_{m} = q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v} = 0,
e portanto
dW_{m} = P_{m}\,dt = 0.

Passo 6

O resultado mostra que a força magnética é sempre perpendicular à velocidade da partícula, de modo que não pode variar sua energia cinética, apenas altera a direção de \mathbf{v}. Isso significa que campos magnéticos não trocam energia com cargas, ao contrário dos campos elétricos.

Resposta

A força magnética não realiza trabalho, pois
\mathbf{F}_{m}\cdot\mathbf{v}=0.

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