Sabendo que a força magnética é \vec{F}_{m a g}= \int(\vec{v} \times \vec{B}) d q e que corrente elétrica I é proporcional à densidade de carga e à velocidade média das cargas, mostre como obter \vec{F}_{\text {mag }}=\int I(d \vec{l} \times \vec{B})

Passo 1

O enunciado quer mostrar como, partindo da força magnética microscópica
\vec{F}_{mag}=\int(\vec{v}\times\vec{B})\,dq
e usando a definição de corrente elétrica, chegamos à forma para um fio percorrido por corrente
\vec{F}_{mag}=\int I\,(d\vec{l}\times\vec{B}).

Passo 2

Usamos a definição de corrente como carga que passa por segundo:
I=\frac{dq}{dt}
Dessa relação segue que
dq=I\,dt.

Passo 3

O deslocamento de cada carga em um intervalo de tempo dt é
d\vec{l}=\vec{v}\,dt.

Passo 4

Substituindo dq=I\,dt e d\vec{l}=\vec{v}\,dt em
\displaystyle \vec{F}_{mag}=\int(\vec{v}\times\vec{B})\,dq
temos
\vec{F}_{mag} =\int(\vec{v}\times\vec{B})\,(I\,dt) =\int I\,\bigl(\vec{v}\,dt\times\vec{B}\bigr) =\int I\,(d\vec{l}\times\vec{B})\,.

Resposta

\displaystyle \vec{F}_{mag}=\int I\,(d\vec{l}\times\vec{B})

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