A velocidade de um objeto, que se move em linha reta, é dada por v(t)= \alpha t^{3}-\beta t, onde \alpha=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \beta=1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} .
Quanto se desloca o objeto no intervalo de tempo entre 0,5 e 1,5 s?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de um objeto em movimento retilíneo
v(t)=\alpha\,t^{3}-\beta\,t
com \alpha=4{,}0,m/s² e \beta=1{,}0,m/s³, e pede o deslocamento entre t_{1}=0{,}5,s e t_{2}=1{,}5,s.
Para saber o deslocamento usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é,
\Delta x=\int_{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Encontrar a antiderivada de v(t). Calculamos
\int v(t)\,\mathrm{d}t=\int\bigl(4\,t^{3}-1\,t\bigr)\mathrm{d}t =\int4\,t^{3}\mathrm{d}t-\int t\,\mathrm{d}t =t^{4}-\frac{t^{2}}{2}+C.
Podemos definir
F(t)=t^{4}-\frac{t^{2}}{2}.

Passo 3

Aplicar o Teorema Fundamental para obter o deslocamento:
\Delta x=F(t_{2})-F(t_{1}) =\Bigl[t^{4}-\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0{,}5}^{1{,}5}.
Calculando cada termo:
F(1{,}5)= (1{,}5)^{4}-\frac{(1{,}5)^{2}}{2} =5{,}0625-1{,}125=3{,}9375,
F(0{,}5)= (0{,}5)^{4}-\frac{(0{,}5)^{2}}{2} =0{,}0625-0{,}125=-0{,}0625.

Passo 4

Subtraindo os valores:
\Delta x=3{,}9375-(-0{,}0625)=4{,}0\\ \text{m}.

Resposta

O objeto desloca-se 4{,}0 m no intervalo de 0{,}5 s a 1{,}5 s.

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