Para que efeitos quânticos fossem relevantes no mundo macroscópico, seria necessário que o comprimento de onda de de Broglie fosse também macroscópico. Por exemplo, lambda approx 1, cm. De acordo com a relação lambda=h / p, onde h é a constante de Planck, muito pequena, isso exigiria que o momento p=m v fosse também muito pequeno. No mundo atômico e subatômico, isso é possível devido à pequena massa das partículas. Porém, no mundo macroscópico, cada objeto é composto por um enorme número de átomos, o que resulta em uma massa total muito grande. Assim, a única possibilidade de se obter um lambda=h / m v apreciável seria através de uma redução extrema da velocidade v. Este problema explora essa © Quanto tempo esse corpo levaria para percorrer uma distância de 1 m? O que você acha desse número? Faz sentido falar em efeitos ondulatórios para partículas no mundo macroscópico?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está falando sobre efeitos quânticos no mundo macroscópico. Basicamente, ele pergunta se partes da física quântica, que geralmente observamos em partículas bem pequenas, poderiam também aparecer em objetos do dia a dia, como uma bolinha de gude, por exemplo. Para explorar isso, vamos usar a relação do comprimento de onda de de Broglie, que é lambda = hp, onde h é a constante de Planck e p é o momento da partícula. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo um corpo levaria para percorrer 1 metro sob essas condições e refletir se faz sentido falar em efeitos ondulatórios para partículas grandes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o comprimento de onda de de Broglie. Essa fórmula, lambda = hp, relaciona a dualidade onda-partícula, mostrando que qualquer objeto com momento p tem um comprimento de onda associado. Aqui, h é a constante de Planck, que é muito pequena ( h approx 6,626 times 10^-34 J cdot s). Para que lambda seja macroscópico, como 1 cm ( lambda = 0,01 m), precisamos que o momento p seja igualmente pequeno.

Passo 3

Sabemos que o momento linear p é dado por p = m cdot v, onde m é a massa do objeto e v é a velocidade. Se queremos que p seja tão pequeno a ponto de tornar lambda macroscópico, precisamos que v seja extremamente pequena, já que a massa m de objetos macroscópicos é grande. Vamos calcular qual seria essa velocidade.

Passo 4

Rearranjando a fórmula de de Broglie, temos:
v = hm lambda
Vamos substituir os valores:
  • h = 6,626 times 10^-34 J cdot s
  • lambda = 0,01 m
  • Suponha que a massa m seja 1 kg (para simplificar).
Então,
v = 6,626 times 10^-341 times 0,01 = 6,626 times 10^-32 m/s

Passo 5

Agora, queremos saber quanto tempo esse corpo levaria para percorrer 1 metro com essa velocidade. A fórmula do tempo é:
t = dv
Onde d é a distância (1 metro) e v é a velocidade que acabamos de calcular.
Substituindo:
t = 16,626 times 10^-32 approx 1,51 times 10^31 segundos

Passo 6

Vamos colocar esse número em perspectiva. Um ano tem aproximadamente 3,154 times 10^7 segundos. Então, o tempo calculado em anos seria:
t approx 1,51 times 10^313,154 times 10^7 approx 4,78 times 10^23 anos
Isso é um número incrivelmente grande, muito maior que a idade do universo (que é cerca de 1,38 times 10^10 anos).

Passo 7

O que isso significa? Que para termos efeitos ondulatórios macroscópicos, precisaríamos que objetos comuns se movessem a velocidades absurdamente baixas, praticamente impossíveis de serem alcançadas. Além disso, a interação desses objetos com o ambiente (como ar e outras partículas) tornaria esses efeitos ainda mais imperceptíveis.

Resposta

Um corpo com um comprimento de onda de de Broglie de aproximadamente 1 cm levaria cerca de 4,78 times 10^23 anos para percorrer 1 metro. Esse número é tão gigantesco que demonstra que não faz sentido falar em efeitos ondulatórios para partículas no mundo macroscópico, já que tais efeitos seriam totalmente indetectáveis e impraticáveis na realidade.

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