Em um dado problema unidimensional, um próton se move livremente entre duas paredes rígidas e separadas por uma distância L.
© Determine, então, seus valores específicos para n=1 e n=2, considerando que L= 0,01 nm e que a massa do próton é 1,67 times 10^-27 kg.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre um próton se movendo livremente entre duas paredes rígidas, formando uma caixa unidimensional com distância $ L = 0,01 $ nm. A gente vai precisar usar conceitos de quantização de energia para partículas em uma caixa, especificamente a fórmula que dá os níveis de energia permitidos para o próton dentro dessa caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para os níveis de energia de uma partícula em uma caixa unidimensional. A equação é:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui:
  • $ E_n $ é a energia no nível $ n $,
  • $ n $ é o número quântico principal (nesse caso, 1 e 2),
  • $ \pi $ é a constante Pi,
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} $ J·s),
  • $ m $ é a massa da partícula (próton, $ 1,67 \times 10^{-27} $ kg),
  • $ L $ é o comprimento da caixa (0,01 nm, que vamos converter para metros).

Passo 3

Vamos converter a distância $ L $ de nanômetros para metros para deixar tudo no SI:
L

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia para $ n = 1 $:
n = 1
Vamos resolver passo a passo:
  1. Calcular $ \hbar^2 $:
E1 = 1^2 pi^2 (1,0545718 times 10^-34)^22 times 1,67 times 10^-27 times (1 times 10^-11)^2
  1. Calcular $ 2 m L^2 $:
hbar^2
  1. Agora, calcular $ E_1 $:
(1,0545718 times 10^-34)^2 = 1,112 times 10^-68 , J^2s^2
Para $ n = 2 $, como a energia depende de $ n^2 $, basta multiplicar o resultado de $ E_1 $ por $ 2^2 = 4 $:
2 m L^2

Resposta

Os níveis de energia específicos do próton para $ n = 1 $ e $ n = 2 $ são aproximadamente:
n = 1
n = 2

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