Em um dado problema unidimensional, um próton se move livremente entre duas paredes rígidas e separadas por uma distância
.
© Determine, então, seus valores específicos para
e
, considerando que
e que a massa do próton é
.
© Determine, então, seus valores específicos para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre um próton se movendo livremente entre duas paredes rígidas, formando uma caixa unidimensional com distância $ L = 0,01 $ nm. A gente vai precisar usar conceitos de quantização de energia para partículas em uma caixa, especificamente a fórmula que dá os níveis de energia permitidos para o próton dentro dessa caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para os níveis de energia de uma partícula em uma caixa unidimensional. A equação é:
Aqui:
- $ E_n $ é a energia no nível $ n $,
- $ n $ é o número quântico principal (nesse caso, 1 e 2),
- $ \pi $ é a constante Pi,
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} $ J·s),
- $ m $ é a massa da partícula (próton, $ 1,67 \times 10^{-27} $ kg),
- $ L $ é o comprimento da caixa (0,01 nm, que vamos converter para metros).
Passo 3
Vamos converter a distância $ L $ de nanômetros para metros para deixar tudo no SI:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia para $ n = 1 $:
Vamos resolver passo a passo:
- Calcular $ \hbar^2 $:
- Calcular $ 2 m L^2 $:
- Agora, calcular $ E_1 $:
Para $ n = 2 $, como a energia depende de $ n^2 $, basta multiplicar o resultado de $ E_1 $ por $ 2^2 = 4 $:
Resposta
Os níveis de energia específicos do próton para $ n = 1 $ e $ n = 2 $ são aproximadamente: