Em uma certa situação física, a função de onda de um elétron em
é dada por
, onde
e
são constantes reais positivas. Não há confinamento, de modo que o elétron pode se mover ao longo de toda a reta real.
(d) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na posição
?
(d) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função de onda de um elétron no tempo $ t = 0 $, que é dada por $ \Psi(x) = A e{-x{2} / (4 \sigma)} $. Aqui, $ A $ e $ \sigma $ são constantes reais positivas. A pergunta pede para calcular a probabilidade de encontrar o elétron na posição $ x = 2 \sqrt{\sigma} $.
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e probabilidades associadas a elas. Para resolver isso, vamos precisar normalizar a função de onda para encontrar o valor da constante $ A $ e depois calcular a probabilidade na posição específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1, já que a probabilidade total de encontrar o elétron em algum lugar é 100%.
Matematicamente, isso fica assim:
Sabemos que $ \Psi(x) = A e{-x{2} / (4 \sigma)} $, então:
Agora, vamos calcular a integral:
A integral de $ e{-x{2} / (2 \sigma)} $ de $ -\infty $ a $ \infty $ é $ \sqrt{2 \pi \sigma} $. Então:
Para encontrar $ A $:
Passo 3
Agora que temos o valor de $ A $, vamos calcular a probabilidade de encontrar o elétron na posição $ x = 2 \sqrt{\sigma} $.
A probabilidade de encontrar o elétron exatamente em um ponto específico em mecânica quântica é tecnicamente zero, porque estamos lidando com uma distribuição contínua. Porém, podemos calcular a densidade de probabilidade nesse ponto.
A densidade de probabilidade é dada por $ |\Psi(x)|^{2} $. Então, vamos substituir $ x = 2 \sqrt{\sigma} $ na expressão:
Substituindo $ A^{2} $ que encontramos:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron na posição $ x = 2 \sqrt{\sigma} $ é $ \frac{e^{-2}}{\sqrt{2 \pi \sigma}} $.