Se os efeitos da resistência do ar forem levados em conta na queda de um corpo próximo à Terra, a aceleração do corpo não é
, onde
é a aceleração da gravidade
, mas
, sendo
a velocidade em
e a sua direção positiva é para baixo.
. Se o corpo é abandonado do repouso em grande altitude, determine:
a) a velocidade após
de queda.
b) a velocidade terminal (constante) que o corpo atinge (para
).
a) a velocidade após
b) a velocidade terminal (constante) que o corpo atinge (para
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de física sobre a queda de um corpo considerando a resistência do ar. A gente precisa calcular a velocidade do corpo após 5 segundos de queda e também a velocidade terminal que ele atinge depois de muito tempo caindo. Para isso, vamos usar a fórmula da aceleração que leva em conta a resistência do ar: $ a = g(1 - k v^{2}) $, onde $ g = 9,81 , m/s^2 $ e $ k = 10^{-4} , s2/\text{m}2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dv}{dt} = g(1 - k v^{2}) $. Nosso objetivo é encontrar a função $ v(t) $ que nos dá a velocidade em qualquer instante $ t $.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com $ v $ de um lado e os termos com $ t $ do outro. Ficamos com:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que podemos resolver usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo uma forma padrão. A integral fica:
Passo 5
A integração da esquerda resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como o corpo é abandonado do repouso, sabemos que $ v(0) = 0 $, então podemos encontrar que $ C = 0 $.
Passo 6
Agora, isolamos $ v $ na equação. Fazemos:
Aplicando a função hiperbólica tangente dos dois lados, obtemos:
Passo 7
Para calcular a velocidade após 5 segundos, substituímos $ t = 5 $ na equação:
Calculando os valores:
Então:
Passo 8
Calculando o valor da tangente hiperbólica:
Portanto:
Passo 9
Para encontrar a velocidade terminal, sabemos que ela ocorre quando a aceleração é zero, ou seja, quando $ a = 0 $. A partir da fórmula:
Resolvendo para $ v_{terminal} $:
Substituindo $ k = 10^{-4} , s2/\text{m}2 $:
Resposta
A velocidade terminal que o corpo atinge é de $ 100 , m/s $.