Se os efeitos da resistência do ar forem levados em conta na queda de um corpo próximo à Terra, a aceleração do corpo não é a=g, onde g é a aceleração da gravidade (g=9,81 m / s^2), mas sim a=g(1-k v^2), sendo v a velocidade em m / s e a sua direção positiva é para baixo. k=10^-4 s^2 / m^2. Se o corpo é abandonado do repouso em grande altitude, determine:
a) a velocidade após 5 s de queda.
b) a velocidade terminal (constante) que o corpo atinge (para t infty ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de física sobre a queda de um corpo considerando a resistência do ar. A gente precisa calcular a velocidade do corpo após 5 segundos de queda e também a velocidade terminal que ele atinge depois de muito tempo caindo. Para isso, vamos usar a fórmula da aceleração que leva em conta a resistência do ar: $ a = g(1 - k v^{2}) $, onde $ g = 9,81 , m/s^2 $ e $ k = 10^{-4} , s2/\text{m}2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dv}{dt} = g(1 - k v^{2}) $. Nosso objetivo é encontrar a função $ v(t) $ que nos dá a velocidade em qualquer instante $ t $.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com $ v $ de um lado e os termos com $ t $ do outro. Ficamos com:
v

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que podemos resolver usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo uma forma padrão. A integral fica:
integral dv1 - k v^2 = integral g , dt

Passo 5

A integração da esquerda resulta em:
1raizk tanh^-1(raizk v) = g t + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Como o corpo é abandonado do repouso, sabemos que $ v(0) = 0 $, então podemos encontrar que $ C = 0 $.

Passo 6

Agora, isolamos $ v $ na equação. Fazemos:
v
Aplicando a função hiperbólica tangente dos dois lados, obtemos:
tanh^-1(raizk v) = raizk g t

Passo 7

Para calcular a velocidade após 5 segundos, substituímos $ t = 5 $ na equação:
t = 5
Calculando os valores:
v(5) = 1raiz10^-4 tanh(raiz10^-4 times 9,81 times 5)
raiz10^-4 = 0,01
Então:
0,01 times 9,81 times 5 = 0,4905

Passo 8

Calculando o valor da tangente hiperbólica:
tanh(0,4905) approx 0,455
Portanto:
v(5) = 100 times 0,455 = 45,5 , m/s

Passo 9

Para encontrar a velocidade terminal, sabemos que ela ocorre quando a aceleração é zero, ou seja, quando $ a = 0 $. A partir da fórmula:
a = 0
Resolvendo para $ v_{terminal} $:
0 = g(1 - k vterminal^2)
vterminal
1 - k vterminal^2 = 0
Substituindo $ k = 10^{-4} , s2/\text{m}2 $:
vterminal^2 = 1k

Resposta

A velocidade terminal que o corpo atinge é de $ 100 , m/s $.

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