Uma partícula tem posição descrita pela função s(t)=6 t^2-t^3, com s em metros e t em segundos. Faça gráficos de s times t, v times t e a times t. Se você observa o movimento da partícula somente por 6 s , responda:
a) a partícula parte da origem do eixo que representa a trajetória ou ela passa por este ponto no exato momento que você começa sua observação?
b) qual a velocidade da partícula quando ela passa pela origem do eixo?
c) qual a aceleração da partícula quando ela passa pela origem do eixo?
d) em que instante na fase progressiva do movimento a velocidade da partícula atinge seu valor máximo?
e) em que local da trajetória partícula se encontra no instante do item d)?
f) qual o valor da aceleração da partícula no instante do item d)?
g) em que instante a partícula atinge a máxima distância da origem?
h) qual a velocidade da partícula quando ela atinge a máxima distância do item g)?
i) esta velocidade é negativa, nula ou positiva?
j) qual o valor da aceleração quando a partícula atinge a posição do item g)?
k) a partícula passa pela origem da trajetória mais de uma vez? Se sim, quantas vezes ela passa por este ponto e em que instante de tempo ela passa sobre ela pela segunda vez?
l) caso a partícula passe pela origem da trajetória com velocidade não nula, qual o valor desta velocidade? Ela é negativa ou positiva?
m) embora você não tenha observado o movimento da partícula além dos 6 s , o que você pode dizer acerca do comportamento subsequente da partícula? Ela continua se movendo indefinidamente para longe da origem ou ainda retorna a ela em algum momento futuro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a posição de uma partícula ao longo do tempo: $ s(t) = 6 t^{2} - t^{3} $, onde $ s $ é em metros e $ t $ em segundos. Vamos precisar entender um pouco de cinemática, especificamente como encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição, além de analisar o comportamento da partícula no gráfico. Vamos resolver as perguntas de a) até m) passo a passo.

Passo 2

a) A partícula parte da origem do eixo que representa a trajetória ou ela passa por este ponto no exato momento que você começa sua observação?
Primeiro, vamos ver onde a partícula está no instante $ t = 0 $. Substituindo na fórmula:
t = 0
Então, quando $ t = 0 $, $ s = 0 $. Isso significa que a partícula está na origem exatamente quando começamos a observar.

Passo 3

b) Qual a velocidade da partícula quando ela passa pela origem do eixo?
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular $ v(t) $:
v(t)
Agora, queremos a velocidade quando a partícula passa pela origem, ou seja, quando $ s(t) = 0 $. Já vimos que isso acontece em $ t = 0 $.
v(t) = dsdt = ddt(6 t^2 - t^3) = 12 t - 3 t^2
A velocidade nesse instante é zero.

Passo 4

c) Qual a aceleração da partícula quando ela passa pela origem do eixo?
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos calcular $ a(t) $:
a(t)
Agora, avaliamos em $ t = 0 $:
a(t) = dvdt = ddt(12 t - 3 t^2) = 12 - 6 t
A aceleração nesse instante é 12 m/s².

Passo 5

d) Em que instante na fase progressiva do movimento a velocidade da partícula atinge seu valor máximo?
Para encontrar o valor máximo da velocidade, buscamos o ponto onde a derivada da velocidade (que é a aceleração) é zero:
a(t) = 12 - 6 t = 0 Rightarrow t = 2 , segundos
Então, a velocidade atinge seu máximo em $ t = 2 $ segundos.

Passo 6

e) Em que local da trajetória a partícula se encontra no instante do item d)?
Vamos calcular $ s(2) $:
s(2)
A partícula está a 16 metros da origem no instante em que a velocidade é máxima.

Passo 7

f) Qual o valor da aceleração da partícula no instante do item d)?
Já encontramos $ t = 2 $. Substituindo na fórmula da aceleração:
t = 2
A aceleração nesse instante é zero.

Passo 8

g) Em que instante a partícula atinge a máxima distância da origem?
A máxima distância ocorre quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando $ v(t) = 0 $. Resolvemos:
v(t) = 0
Já sabemos que no $ t = 0 $, a posição é zero. Então, a máxima distância ocorre em $ t = 4 $ segundos.

Passo 9

h) Qual a velocidade da partícula quando ela atinge a máxima distância do item g)?
Precisamos encontrar $ v(4) $:
v(4)
A velocidade nesse instante é zero.

Passo 10

i) Esta velocidade é negativa, nula ou positiva?
A velocidade é nula, ou seja, igual a zero.

Passo 11

j) Qual o valor da aceleração quando a partícula atinge a posição do item g)?
Vamos calcular $ a(4) $:
a(4)
A aceleração nesse instante é -12 m/s².

Passo 12

k) A partícula passa pela origem da trajetória mais de uma vez? Se sim, quantas vezes ela passa por este ponto e em que instante de tempo ela passa sobre ela pela segunda vez?
Para encontrar quando $ s(t) = 0 $:
s(t) = 0
Então, a partícula passa pela origem duas vezes: no início ($ t = 0 $) e novamente em $ t = 6 $ segundos.

Passo 13

l) Caso a partícula passe pela origem da trajetória com velocidade não nula, qual o valor desta velocidade? Ela é negativa ou positiva?
Vamos verificar em $ t = 6 $:
t = 6
A velocidade é -36 m/s, ou seja, negativa.

Passo 14

m) Embora você não tenha observado o movimento da partícula além dos 6 s, o que você pode dizer acerca do comportamento subsequente da partícula? Ela continua se movendo indefinidamente para longe da origem ou ainda retorna a ela em algum momento futuro?
Analisando a função $ s(t) = 6 t^2 - t^3 $, para $ t > 6 $, o termo $ -t^3 $ domina, fazendo com que $ s(t) $ se torne negativa e a partícula continue se afastando na direção negativa da origem. Portanto, após 6 segundos, a partícula continua se movendo para longe da origem indefinidamente.

Resposta

Resumindo as respostas:
a) A partícula parte da origem exatamente no início da observação ($ t = 0 $).
b) A velocidade na origem é 0 m/s.
c) A aceleração na origem é 12 m/s².
d) A velocidade atinge seu máximo em 2 segundos.
e) No instante de máxima velocidade, a partícula está a 16 metros da origem.
f) A aceleração nesse instante é 0 m/s².
g) A máxima distância da origem ocorre em 4 segundos.
h) A velocidade na máxima distância é 0 m/s.
i) Essa velocidade é nula.
j) A aceleração na máxima distância é -12 m/s².
k) A partícula passa pela origem duas vezes: em $ t = 0 $ e em $ t = 6 $ segundos.
l) Ao passar pela origem novamente, a velocidade é -36 m/s, ou seja, negativa.
m) Após 6 segundos, a partícula continua se movendo indefinidamente para longe da origem.

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