A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por alpha(t)=4 t-3 t^2+t^3, onde alpha está em radianos e tem segundos.
Qual é a aceleração angular instantânea (e) no fim deste intervalo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição angular de um ponto na borda de uma roda, dada pela função alpha(t) = 4 t - 3 t^2 + t^3, onde alpha está em radianos e t em segundos. A gente precisa encontrar a aceleração angular instantânea no final desse intervalo de tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar como a velocidade e a aceleração angular mudam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa posição angular. A posição angular alpha(t) descreve onde o ponto está em relação a um ponto de referência à medida que o tempo passa. Para achar a velocidade angular, que é a taxa de variação da posição angular, precisamos derivar alpha(t) em relação ao tempo t.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da posição angular para encontrar a velocidade angular omega(t):
omega(t) = dalphadt = ddt(4 t - 3 t^2 + t^3) = 4 - 6 t + 3 t^2
Então, a velocidade angular é omega(t) = 4 - 6 t + 3 t^2.

Passo 4

Agora, a aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular, ou seja, a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Vamos derivar omega(t) para encontrar a aceleração angular alphaa(t):
alphaa(t) = domegadt = ddt(4 - 6 t + 3 t^2) = -6 + 6 t
Então, a aceleração angular é alphaa(t) = -6 + 6 t.

Passo 5

O enunciado pede a aceleração angular no fim do intervalo de tempo considerado. Como não foi especificado o valor final de t, podemos expressar a aceleração angular em termos de t ou, se um valor específico de t for dado, substituí-lo na equação.

Resposta

A aceleração angular instantânea no final do intervalo é alphaa(t) = -6 + 6 t rad/s².

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