Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^prime+1=4 e^-y sen x ; z=e^y

Passo 1

O enunciado dá a equação
y' + 1 = 4 e^-ysin x
e sugere a substituição z = e^y. Vamos usar essa troca para transformar a equação num problema linear em z.

Passo 2

Como z = e^y, temos
z' = y',e^y = y',z Longrightarrow y' = z'z
Substituindo em y' + 1 = 4 e^-ysin x obtemos
z'z + 1 = 41zsin x
Multiplicando toda a equação por z resulta
z' + z = 4sin x

Passo 3

A equação
z' + z = 4sin x
é linear de coeficiente de z igual a 1. O fator integrante é
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando por mu(x)
e^xz' + e^xz = 4e^xsin x Longrightarrow l(e^xzr)' = 4e^xsin x

Passo 4

Integramos em x:
e^xz = 4integral e^xsin x,dx + C
Sabemos que
integral e^xsin x,dx = tfrace^x2l(sin x - cos xr),
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e^xz = 4cdot tfrace^x2l(sin x - cos xr) + C = 2e^xl(sin x - cos xr) + C
Dividindo por e^x resulta
z = 2l(sin x - cos xr) + Ce^-x

Passo 5

Voltando à variável original, y = ln z. Assim a solução geral é
y(x) = ln!l[,2(sin x - cos x) + Ce^-xr],
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = ln!l(2(sin x - cos x) + Ce^-xr)

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