Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
e^n+e^-ne^2 n-1

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = e^n + e^-ne^2n - 1
e pede para determinar se an converge ou diverge. Se convergir, encontrar limntoinftyan. Vamos usar manipulações algébricas com exponenciais e propriedades de limites.

Passo 2

Reescrevemos an fatorando e^n no numerador e e^2n no denominador:
an = e^nl(1 + e^-2nr)e^2nl(1 - e^-2nr)
Agora separamos em dois fatores:
an = underbracee^ne^2ne^-n;cdot;underbrace1 + e^-2n1 - e^-2nbn

Passo 3

  1. Observe que
limntoinftye^-n = 0,
pois e^-n decai exponencialmente.
2. Para bn = 1+e^-2n1-e^-2n, como e^-2nto0, temos
limntoinftybn = 1+01-0 = 1
Logo, pelo limite do produto,
limntoinftyan = limntoinfty l(e^-nr);cdot;limntoinftybn = 0 cdot 1 = 0

Resposta

A sequência converge e
limntoinftye^n+e^-ne^2n-1 = 0

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