Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
n^2 e^-n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n^2e^-n
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar seu limite. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência com termos positivos, usando o fato de que funções exponenciais crescem (ou decaem) muito mais rápido que polinômios. Uma ferramenta útil é o teste da razão de sequência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an = (n+1)^2e^-(n+1)n^2e^-n = (n+1n)^2e^-1 = l(1+tfrac1nr)^2e^-1
Como
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^2e^-1 = e^-1<1,
existe r<1 tal que, para todo n suficientemente grande, tfracan+1an<r. Isso garante que os termos an tendem a zero.

Passo 3

Dado que limntoinftytfracan+1an<1, concluímos que
limntoinftyan=0

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn^2e^-n=0

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