Efetuar:
(3 \vec{i}) \cdot(2 \vec{j})

Passo 1

O enunciado pede para efetuar o produto escalar entre os vetores (3 \vec{i}) e (2 \vec{j}).
Informações dadas: 3 e 2 são escalares multiplicando os vetores unitários \vec{i} e \vec{j}, respectivamente. Não há outras informações escondidas no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar a definição e propriedades úteis do produto escalar (dot product), de forma bem direta e sem enrolação.
Definição em componentes: se \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Definição geométrica: se \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}, então
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta.
Propriedade de fatoração por escalares: para escalares \alpha,\beta e vetores \vec{u},\vec{v},
(\alpha \vec{u})\cdot(\beta \vec{v})=\alpha\beta(\vec{u}\cdot\vec{v}).
Essas fórmulas são o que precisamos. Aqui \vec{i} e \vec{j} são os vetores unitários dos eixos x e y.

Passo 3

Aplicando a propriedade de fatoração por escalares ao nosso caso:
(3\vec{i})\cdot(2\vec{j}) = 3\cdot 2 \; (\vec{i}\cdot\vec{j}) = 6\;(\vec{i}\cdot\vec{j}).

Passo 4

Agora usamos que \vec{i} e \vec{j} são ortogonais (perpendiculares) e unitários. Pela definição geométrica, se dois vetores são perpendiculares então o ângulo entre eles é 90^\circ e \cos 90^\circ=0. Portanto
\vec{i}\cdot\vec{j}=0,
e na expressão do Passo 3 isso aparece como 6\cdot 0.

Passo 5

Interpretação rápida e motivadora: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” sobre o outro. Como \vec{i} não tem componente na direção de \vec{j}, não há projeção e o produto escalar é nulo. Isso vale sempre: vetores perpendiculares têm produto escalar zero — uma informação muito útil para a prova!

Resposta

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