Se \vec{u}=3 \vec{i}-\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=-\vec{i}+2 \vec{k}, determinar:
(\vec{u} \cdot \vec{v}) \times(\vec{v} \times \vec{u})

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para calcular
(\vec{u}\cdot\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{u}).
Dados fornecidos:
\vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k},\qquad \vec{v}=2\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k},\qquad \vec{w}=-\vec{i}+2\vec{k}.
Observação: a expressão envolve o produto escalar (\vec{u}\cdot\vec{v}) que é um número (escalar) e o produto vetorial (\vec{v}\times\vec{u}) que é um vetor; portanto o símbolo \(\times\) entre eles representa multiplicação escalar do número pelo vetor, ou seja, escalar vezes vetor.

Passo 2

Vou calcular primeiro o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Lembrete / fórmula: para \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Aqui \vec{u}=(3,-1,-2) e \vec{v}=(2,4,-1), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot 2 + (-1)\cdot 4 + (-2)\cdot(-1).
Faço as contas passo a passo:
3\cdot 2 = 6,\qquad (-1)\cdot 4 = -4,\qquad (-2)\cdot(-1)=2.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=6-4+2=4.
Portanto o escalar é \;4.

Passo 3

Agora calculo o produto vetorial \vec{v}\times\vec{u}. Lembrete / fórmula componente a componente: para \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z),
\vec{a}\times\vec{b}=(a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).
Aplicando com \vec{a}=\vec{v}=(2,4,-1) e \vec{b}=\vec{u}=(3,-1,-2):
Primeira componente (coordenada x):
a_y b_z - a_z b_y = 4\cdot(-2) - (-1)\cdot(-1) = -8 - 1 = -9.
Segunda componente (coordenada y):
a_z b_x - a_x b_z = (-1)\cdot 3 - 2\cdot(-2) = -3 + 4 = 1.
Terceira componente (coordenada z):
a_x b_y - a_y b_x = 2\cdot(-1) - 4\cdot 3 = -2 - 12 = -14.
Logo
\vec{v}\times\vec{u}=(-9,\,1,\,-14)= -9\vec{i}+1\vec{j}-14\vec{k}.
(Dica: você também pode lembrar que \vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v}), o que daria os sinais trocados.)

Passo 4

Agora multiplico o escalar \vec{u}\cdot\vec{v}=4 pelo vetor \vec{v}\times\vec{u}=(-9,1,-14). Regra: multiplicação escalar por vetor escala cada componente.
4\cdot(-9,1,-14)=(4\cdot(-9),\;4\cdot 1,\;4\cdot(-14)).
Calculemos:
4\cdot(-9)=-36,\qquad 4\cdot 1=4,\qquad 4\cdot(-14)=-56.
Portanto
(\vec{u}\cdot\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{u}) = (-36,\,4,\,-56) = -36\vec{i}+4\vec{j}-56\vec{k}.

Passo 5

Cheque rápido (para aumentar confiança): o vetor resultado deve ser ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}, porque \vec{v}\times\vec{u} é ortogonal a ambos e escalar não altera isso. Verifico com produto escalar rápido:
(-36,4,-56)\cdot(3,-1,-2) = -108 -4 +112 =0,
(-36,4,-56)\cdot(2,4,-1) = -72 +16 +56 =0.
Confere, então estamos consistentes. Força aí — valeu a tentativa e tá certo!

Resposta

-36\vec{i}+4\vec{j}-56\vec{k}

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