Efetuaram-se experiências em laboratório para obter as características de resistência de um navio em relação à onda (depende somente da gravidade) que vai se opor ao seu deslocamento. Considerando água (
) em modelo e protótipo, calcule:
O período da onda
no protótipo, sendo seu valor no modelo de 3 s .
O período da onda
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o período da onda no protótipo de um navio, sabendo que no modelo de laboratório esse período é de 3 segundos. Estamos trabalhando com características de resistência de navios em relação a ondas que dependem apenas da gravidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de escala e similaridade na física, especialmente a similaridade de Froude, que é fundamental quando estamos comparando modelos e protótipos em hidrodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o período da onda. O período (T) é o tempo que leva para uma onda completar um ciclo completo, ou seja, o tempo entre dois pontos consecutivos que estejam na mesma fase da onda.
Passo 3
Agora, precisamos usar o conceito de similaridade de Froude. Essa similaridade é importante quando as forças dominantes envolvidas são as inercias e as gravitacionais, como é o caso aqui. A similaridade de Froude nos ajuda a relacionar grandezas entre o modelo e o protótipo.
Passo 4
A relação de similaridade de Froude para o período das ondas é dada por:
Onde:
- $ T_p $ é o período no protótipo,
- $ T_m $ é o período no modelo,
- $ L_p $ é o comprimento no protótipo,
- $ L_m $ é o comprimento no modelo.
Passo 5
Mas, na verdade, o comprimento não foi dado diretamente no problema. O que temos são as propriedades da água no modelo e no protótipo. No entanto, como estamos lidando com similaridade de Froude e apenas com ondas de gravidade, podemos simplificar a relação para que envolva apenas os períodos, já que outras grandezas se cancelam ou são constantes.
Passo 6
Rearranjando a fórmula para encontrar $ T_p $:
Mas, considerando que nem o comprimento está dado, e que estamos focando na relação direta entre os períodos de onda na escala, podemos usar a relação simplificada de que o período no protótipo é proporcional ao período no modelo multiplicado pela raiz da escala linear.
Entretanto, como não temos a escala direta dada, podemos assumir que a escala no comprimento $ \lambda $ entre o protótipo e o modelo é tal que a relação de tempo $ T $ também segue a raiz dessa escala.
Passo 7
Como não temos a escala exata de comprimento, e o problema pede apenas para calcular o período no protótipo sabendo que no modelo é 3 segundos, vamos considerar que a escala de tempo é diretamente proporcional ao período. Ou seja, o período no protótipo será maior que no modelo devido ao aumento de escala.
Passo 8
Como não temos informações adicionais sobre a escala de comprimento, podemos concluir que, assumindo similaridade de Froude, o período no protótipo será igual ao período no modelo, já que a escala de tempo depende da raiz da escala de comprimento, e sem essa informação, mantemos o período:
Resposta
O período da onda no protótipo é de 3 segundos.