Efetuaram-se experiências em laboratório para obter as características de resistência de um navio em relação à onda (depende somente da gravidade) que vai se opor ao seu deslocamento. Considerando água ( rho= 1000 kg / m^3 ; v=10^-6 m^2 / s ) em modelo e protótipo, calcule:
O período da onda (T) no protótipo, sendo seu valor no modelo de 3 s .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o período da onda no protótipo de um navio, sabendo que no modelo de laboratório esse período é de 3 segundos. Estamos trabalhando com características de resistência de navios em relação a ondas que dependem apenas da gravidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de escala e similaridade na física, especialmente a similaridade de Froude, que é fundamental quando estamos comparando modelos e protótipos em hidrodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o período da onda. O período (T) é o tempo que leva para uma onda completar um ciclo completo, ou seja, o tempo entre dois pontos consecutivos que estejam na mesma fase da onda.

Passo 3

Agora, precisamos usar o conceito de similaridade de Froude. Essa similaridade é importante quando as forças dominantes envolvidas são as inercias e as gravitacionais, como é o caso aqui. A similaridade de Froude nos ajuda a relacionar grandezas entre o modelo e o protótipo.

Passo 4

A relação de similaridade de Froude para o período das ondas é dada por:
TpTm = raizLpLm
Onde:
  • $ T_p $ é o período no protótipo,
  • $ T_m $ é o período no modelo,
  • $ L_p $ é o comprimento no protótipo,
  • $ L_m $ é o comprimento no modelo.

Passo 5

Mas, na verdade, o comprimento não foi dado diretamente no problema. O que temos são as propriedades da água no modelo e no protótipo. No entanto, como estamos lidando com similaridade de Froude e apenas com ondas de gravidade, podemos simplificar a relação para que envolva apenas os períodos, já que outras grandezas se cancelam ou são constantes.

Passo 6

Rearranjando a fórmula para encontrar $ T_p $:
Tp
Mas, considerando que nem o comprimento está dado, e que estamos focando na relação direta entre os períodos de onda na escala, podemos usar a relação simplificada de que o período no protótipo é proporcional ao período no modelo multiplicado pela raiz da escala linear.
Entretanto, como não temos a escala direta dada, podemos assumir que a escala no comprimento $ \lambda $ entre o protótipo e o modelo é tal que a relação de tempo $ T $ também segue a raiz dessa escala.

Passo 7

Como não temos a escala exata de comprimento, e o problema pede apenas para calcular o período no protótipo sabendo que no modelo é 3 segundos, vamos considerar que a escala de tempo é diretamente proporcional ao período. Ou seja, o período no protótipo será maior que no modelo devido ao aumento de escala.

Passo 8

Como não temos informações adicionais sobre a escala de comprimento, podemos concluir que, assumindo similaridade de Froude, o período no protótipo será igual ao período no modelo, já que a escala de tempo depende da raiz da escala de comprimento, e sem essa informação, mantemos o período:
Tp = 3 s

Resposta

O período da onda no protótipo é de 3 segundos.

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