Efetue, através da integral definida, o cálculo da área delimitada por:
x=0, x=1, e pelas curvas de f(x)=x^{3} e y=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em que x varia de 0 a 1 e que é limitada pelas curvas y=f(x)=x^3 e y=\sqrt{x}. O conteúdo principal é a interpretação geométrica da integral definida para calcular áreas entre curvas, usando o Teorema Fundamental do Cálculo e antiderivadas de potências.

Passo 2

Para aplicar a integral de área entre duas curvas, precisamos saber qual delas está acima da outra em [0,1]. Comparando \sqrt{x}=x^{1/2} e x^3 em (0,1), como 1/2<3, temos
x^{1/2} > x^3.
Ou seja, y=\sqrt{x} é a curva superior e y=x^3 a inferior.

Passo 3

A área A entre essas duas curvas de x=0 a x=1 é dada por
A = \int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^3\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos separadamente as duas integrais. Primeiro
\int_{0}^{1} \sqrt{x}\,dx = \int_{0}^{1} x^{1/2}\,dx = \left[\frac{x^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}\,.

Passo 5

Agora
\int_{0}^{1} x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\,.

Passo 6

Subtraindo as integrais para obter a área:
A = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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