Uma mangueira, com o bico a 1,5 m acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de 30^circ com o chão. O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
(a) Quanto tempo o jato leva para atingir o canteiro?
(b) Com que velocidade o jato sai da mangueira?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma mangueira cujo bico fica a 1,5 m do chão e que o jato de água sai formando 30° com o solo. Ele atinge um canteiro que fica a 15 m de distância horizontal.
Conteúdo: movimento de projétil (cinemática).
O que precisamos:
  1. Decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
  2. Usar a equação do movimento horizontal (sem aceleração) para relacionar e o tempo .
  3. Usar a equação do movimento vertical (com aceleração da gravidade) para relacionar , e a altura inicial.
  4. Resolver as duas equações para achar e depois .

Passo 2

Primeiro, escrevemos as componentes da velocidade inicial:
  • Componente horizontal:
v0x = v0 cos 30^circ
  • Componente vertical:
v0y = v0 sin 30^circ
Lembrando que e .

Passo 3

Equação do movimento horizontal (velocidade constante):
x = v0x , t Longrightarrow 15 = l(v0 cos30^circr),t Longrightarrow v0 = 15cos30^circ , t

Passo 4

Equação do movimento vertical (aceleração constante y(t) ;=; y0 + v0y,t - tfrac12,g,t^2 Longrightarrow 0 = 1,5 + l(v0 sin30^circr)t - tfrac12,(9,8),t^2 ), tomando no nível do solo onde o jato atinge o canteiro:

Passo 5

Substituímos v0 sin30^circ = 15cos30^circ , t;cdot;sin30^circ = 15,tan30^circt com tan30^circ = tfrac1raiz3 (da equação horizontal) na equação vertical. Primeiro, note que:
0 = 1,5 + 15,tan30^circt,t ;-; 4,9,t^2 ;Longrightarrow; 0 = 1,5 + 15,tan30^circ - 4,9,t^2
Então
0 = 1,5 + 8,66 - 4,9,t^2 Longrightarrow 4,9,t^2 = 10,16 Longrightarrow t^2 approx 2,073 Longrightarrow t approx 1,44 s
Calculando , fica

Passo 6

Agora que sabemos o tempo v0 = 15cos30^circ , t = 15(raiz3/2)times 1,44 approx 151,247 approx 12,0;m/s , voltamos na equação

Resposta

a) O jato leva cerca de s para atingir o canteiro.
b) A velocidade de saída da mangueira é aproximadamente m/s.

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