Efetue a expressão em cada item. Em seguida, responda às perguntas
a) 11+1
b) 11+11+1
c) 11+11+11+1
d) 11+11+11+11+1
e) Em cada caso, que fração você obtém? Como elas são formadas?
f) Continuando com esse processo, sem fazer contas, qual você acha que será a próxima fração? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para calcular sucessivas frações aninhadas do tipo 1/(1+1/(1+…)), identificar os resultados e notar um padrão para prever a próxima fração sem calcular de novo. O conteúdo é fração contínua simples e vamos precisar somar números e inverter frações, trabalhando de dentro para fora.

Passo 2

Para o item a) temos
1+1=2
Logo
11+1=12

Passo 3

No item b) primeiro calcule a parte interna igual à do item a):
1+1=2implies 11+1=12
Depois
1+12=32implies 11+11+1=1tfrac32=23

Passo 4

No item c) aninhamos mais um nível. A parte interna de b) deu tfrac32, então
1+1tfrac32=1+23=53implies 11+11+11+1=1tfrac53=35

Passo 5

No item d) repetimos: a parte interna de c) foi tfrac53, então
1+1tfrac53=1+35=85implies 11+11+11+11+1=1tfrac85=58

Passo 6

Observando os resultados dos itens a) a d), obtemos as frações 1/2,,2/3,,3/5,,5/8. Cada termo é formado somando o numerador e denominador do termo anterior para obter o novo numerador, e o numerador anterior vira o novo denominador; ou seja, seguem a sequência de Fibonacci.

Passo 7

Sem fazer contas, a próxima fração continuará esse padrão: o numerador será 5+8=13 e o denominador será o numerador anterior 8, mas como queremos sempre escrever na forma numerador/denominador, pegamos o par 8,13. Portanto, a próxima fração é 8/13, pois cada termo é a soma dos dois anteriores no numerador e o termo anterior no denominador.

Resposta

a) 1/2
b) 2/3
c) 3/5
d) 5/8
e) As frações são 1/2,,2/3,,3/5,,5/8, formadas pela soma do numerador com o denominador do termo anterior para gerar o novo numerador, e o numerador anterior vira o novo denominador (sequência de Fibonacci).
f) A próxima fração é 8/13, seguindo o mesmo padrão de soma dos dois termos anteriores.

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