Efetue a expressão em cada item. Em seguida, responda às perguntas
a)
b)
c)
d)
e) Em cada caso, que fração você obtém? Como elas são formadas?
f) Continuando com esse processo, sem fazer contas, qual você acha que será a próxima fração? Por quê?
a)
b)
c)
d)
e) Em cada caso, que fração você obtém? Como elas são formadas?
f) Continuando com esse processo, sem fazer contas, qual você acha que será a próxima fração? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para calcular sucessivas frações aninhadas do tipo 1/(1+1/(1+…)), identificar os resultados e notar um padrão para prever a próxima fração sem calcular de novo. O conteúdo é fração contínua simples e vamos precisar somar números e inverter frações, trabalhando de dentro para fora.
Passo 2
Para o item a) temos
Logo
Passo 3
No item b) primeiro calcule a parte interna igual à do item a):
Depois
Passo 4
No item c) aninhamos mais um nível. A parte interna de b) deu
, então
Passo 5
No item d) repetimos: a parte interna de c) foi
, então
Passo 6
Observando os resultados dos itens a) a d), obtemos as frações
. Cada termo é formado somando o numerador e denominador do termo anterior para obter o novo numerador, e o numerador anterior vira o novo denominador; ou seja, seguem a sequência de Fibonacci.
Passo 7
Sem fazer contas, a próxima fração continuará esse padrão: o numerador será
e o denominador será o numerador anterior
, mas como queremos sempre escrever na forma numerador/denominador, pegamos o par
. Portanto, a próxima fração é
, pois cada termo é a soma dos dois anteriores no numerador e o termo anterior no denominador.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) As frações são , formadas pela soma do numerador com o denominador do termo anterior para gerar o novo numerador, e o numerador anterior vira o novo denominador (sequência de Fibonacci).
f) A próxima fração é , seguindo o mesmo padrão de soma dos dois termos anteriores.
b)
c)
d)
e) As frações são
f) A próxima fração é