Encontre os pontos de mínimo e máximo da função
na região do plano delimitada pelo quadrado
(um conjunto fechado e limitado).
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar os pontos de mínimo e máximo da função f(x,y)=e{x2}+y^2+y no quadrado fechado |x|≤1, |y|≤1. O conteúdo envolve cálculo de extremos em regiões fechadas, então vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos internos e depois avaliar a função nas fronteiras.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e buscamos pontos críticos internos. Temos
Igualando a zero, obtemos x=0 e y=-\tfrac12, portanto o único ponto crítico interno é (0,-1/2).
Passo 3
Avaliamos f no ponto crítico (0,-1/2):
Passo 4
Agora examinamos as fronteiras x=±1, variando y em [-1,1].
Como é um quadrático em y, o mínimo ocorre em y=-1/2:
o máximo em y=1:
Passo 5
Examinamos as fronteiras y=±1, variando x em [-1,1].
Para y=1:
Para y=1:
o menor valor em x=0 dá f(0,1)=3 e o maior em x=±1 dá f(±1,1)=e+2.
Para y=-1:
o menor em x=0 é 1 e o maior em x=±1 é e.
Passo 6
Comparamos todos os valores encontrados:
- No interior: f(0,-1/2)=3/4.
- Nas fronteiras e cantos: os menores foram f(0,-1)=1 e f(\pm1,-1/2)=e-1/4≈2.47; os maiores foram f(±1,1)=e+2≈4.72.
Passo 7
Concluímos que o mínimo global é o valor 3/4 no ponto (0,-1/2) e o máximo global é o valor e+2 nos pontos (1,1) e (-1,1).
Resposta
Mínimo global em (0, -1/2) com f=3/4. Máximos globais em (1, 1) e (-1, 1) com f=e+2.