Encontre os pontos de mínimo e máximo da função
f(x, y)=e^x^2+y^2+y
na região do plano delimitada pelo quadrado |x| <= 1 e |y| <= 1 (um conjunto fechado e limitado).

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar os pontos de mínimo e máximo da função f(x,y)=e{x2}+y^2+y no quadrado fechado |x|≤1, |y|≤1. O conteúdo envolve cálculo de extremos em regiões fechadas, então vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos internos e depois avaliar a função nas fronteiras.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e buscamos pontos críticos internos. Temos
partial fpartial x=2x e^x^2, partial fpartial y=2y+1
Igualando a zero, obtemos x=0 e y=-\tfrac12, portanto o único ponto crítico interno é (0,-1/2).

Passo 3

Avaliamos f no ponto crítico (0,-1/2):
f(0,-tfrac12)=e^0+l(-tfrac12r)^2+l(-tfrac12r)=1+tfrac14-tfrac12=tfrac34

Passo 4

Agora examinamos as fronteiras x=±1, variando y em [-1,1].
f(pm1,y)=e^1+y^2+y=e+ y^2+y
Como é um quadrático em y, o mínimo ocorre em y=-1/2:
f(pm1,-tfrac12)=e+tfrac14-tfrac12=e-tfrac14,
o máximo em y=1:
f(pm1,1)=e+1+1=e+2

Passo 5

Examinamos as fronteiras y=±1, variando x em [-1,1].
Para y=1:
f(x,1)=e^x^2+1+1=e^x^2+2,
o menor valor em x=0 dá f(0,1)=3 e o maior em x=±1 dá f(±1,1)=e+2.
Para y=-1:
f(x,-1)=e^x^2+1-1=e^x^2,
o menor em x=0 é 1 e o maior em x=±1 é e.

Passo 6

Comparamos todos os valores encontrados:
  • No interior: f(0,-1/2)=3/4.
  • Nas fronteiras e cantos: os menores foram f(0,-1)=1 e f(\pm1,-1/2)=e-1/4≈2.47; os maiores foram f(±1,1)=e+2≈4.72.

Passo 7

Concluímos que o mínimo global é o valor 3/4 no ponto (0,-1/2) e o máximo global é o valor e+2 nos pontos (1,1) e (-1,1).

Resposta

Mínimo global em (0, -1/2) com f=3/4. Máximos globais em (1, 1) e (-1, 1) com f=e+2.

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