Efetue as integrais indefinidas abaixo. Não se esqueça de inserir a constante de integração C.
\int\left(\frac{1}{2} x^{3}+6 x^{2}-x+10\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{2} x^{3}+6 x^{2}-x+10\right)\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função a integrar é um polinômio: \tfrac{1}{2}x^{3}+6x^{2}-x+10.
  • Trata‑se de uma integral indefinida, então devemos incluir a constante de integração C.
  • Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Regras básicas que usarei (explicação didática e simples):
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais; a constante pode sair da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx, \qquad \int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx,
onde a é uma constante.
  • Regra da potência (caso mais usado em prova): para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente; o +C representa qualquer constante de integração.
Exemplo curto para fixar: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 3

Aplicando a linearidade, separo a integral em termos mais simples e retiro constantes:
\int\left(\frac{1}{2} x^{3}+6 x^{2}-x+10\right)\,dx = \frac{1}{2}\int x^{3}\,dx +6\int x^{2}\,dx -\int x\,dx +10\int 1\,dx.

Passo 4

Agora aplico a regra da potência a cada termo (cada n\neq-1):
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx=x.

Passo 5

Multiplico pelos coeficientes que estavam fora das integrais e simplifico termo a termo:
\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{8}, \qquad 6\cdot\frac{x^{3}}{3}=2x^{3}, \qquad -1\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{2}, \qquad 10\cdot x=10x.

Passo 6

Somando todos os termos obtidos e acrescentando a constante de integração C, a primitiva é
\frac{x^{4}}{8}+2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+10x+C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando este resultado volta‑se ao integrando:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{8}+2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+10x+C\right) =\frac{1}{2}x^{3}+6x^{2}-x+10,
portanto está correto.

Resposta

\frac{x^{4}}{8}+2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+10x+C

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