Efetue as integrais indefinidas abaixo. Não se esqueça de inserir a constante de integração C.
\int\left(10 x^{9}-8 x^{7}+6 x^{5}-2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(10 x^{9}-8 x^{7}+6 x^{5}-2\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o polinômio 10 x^{9}-8 x^{7}+6 x^{5}-2.
  • Deve ser incluída a constante de integração C.
    A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais, e constantes podem sair da integral. Assim:
\int\left(10 x^{9}-8 x^{7}+6 x^{5}-2\right)\,dx = 10\int x^{9}\,dx -8\int x^{7}\,dx +6\int x^{5}\,dx -2\int 1\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência para integrais. A regra diz:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,
onde n é o expoente da potência. Essa fórmula vem da observação de que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}\,x^{n}=x^{n},
portanto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra da potência e a regra da constante:
Para o primeiro termo:
10\int x^{9}\,dx=10\cdot\frac{x^{10}}{10}=x^{10}.
Para o segundo termo:
-8\int x^{7}\,dx=-8\cdot\frac{x^{8}}{8}=-x^{8}.
Para o terceiro termo:
6\int x^{5}\,dx=6\cdot\frac{x^{6}}{6}=x^{6}.
Para o quarto termo (constante):
-2\int 1\,dx=-2x.

Passo 5

Somando as primitivas parciais obtidas (e lembrando da constante de integração C que deve ser adicionada no final), a antiderivada geral é x^{10}-x^{8}+x^{6}-2x mais a constante C.

Resposta

x^{10}-x^{8}+x^{6}-2x+C

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