Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
\int \frac{\operatorname{sech}^{2}(\sqrt{x}) \operatorname{tanh} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sech}^{2}(\sqrt{x})\,\operatorname{tanh}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda envolve as funções hiperbólicas \operatorname{sech} e \operatorname{tanh} aplicadas a \sqrt{x}.
  • Há um fator \frac{1}{\sqrt{x}} multiplicando dx.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a integranda.

Passo 2

Observação útil (por que escolher uma substituição): a presença de \sqrt{x} dentro das funções hiperbólicas e do fator \frac{1}{\sqrt{x}} indica que é conveniente trocar de variável para eliminar \sqrt{x}. Fazemos a substituição
t=\sqrt{x}.
Agora calculamos a relação entre dt e dx. Como t=x^{1/2}, temos
\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Isolando dx obtemos
dx=2\sqrt{x}\,dt.
Explicação: dt/dx significa a derivada de t em relação a x. Invertendo essa relação obtemos dx em termos de dt, que é o que precisamos para substituir na integral.

Passo 3

Vamos substituir na integral usando t=\sqrt{x} e dx=2\sqrt{x}\,dt. A integranda original é
\frac{\operatorname{sech}^{2}(\sqrt{x})\,\operatorname{tanh}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx.
Substituindo:
\frac{\operatorname{sech}^{2}(t)\,\operatorname{tanh}(t)}{\sqrt{x}}\cdot (2\sqrt{x}\,dt).
Note que \sqrt{x} cancela com 1/\sqrt{x}, ficando
2\,\operatorname{sech}^{2}(t)\,\operatorname{tanh}(t)\,dt.
Portanto a integral passa a ser
\int \frac{\operatorname{sech}^{2}(\sqrt{x})\,\operatorname{tanh}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx =2\int \operatorname{sech}^{2}(t)\,\operatorname{tanh}(t)\,dt.

Passo 4

Agora enxergamos a integral em t:
2\int \operatorname{sech}^{2}(t)\,\operatorname{tanh}(t)\,dt.
Usamos uma segunda substituição interna (ou observação de derivada): conhecemos a derivada da função hiperbólica tangente:
\frac{d}{dt}\operatorname{tanh}(t)=\operatorname{sech}^{2}(t).
Isso é importante: significa que \operatorname{sech}^{2}(t)\,dt é exatamente d(\operatorname{tanh}(t)). Então fazemos a substituição
u=\operatorname{tanh}(t), \qquad du=\operatorname{sech}^{2}(t)\,dt.
Assim a integral fica
2\int u\,du.
Explicação didática: quando vemos um fator que é a derivada de outra parte da integranda (aqui \operatorname{sech}^{2}(t) é a derivada de \operatorname{tanh}(t)), é um sinal clássico de que devemos usar essa substituição — ela transforma a integral numa integral algébrica simples.

Passo 5

Integramos em u:
2\int u\,du = 2\cdot\frac{u^{2}}{2}+C = u^{2}+C.
Agora voltamos às variáveis originais. Lembrando que u=\operatorname{tanh}(t) e t=\sqrt{x}, obtemos a primitiva
u^{2}+C=\operatorname{tanh}^{2}(t)+C=\operatorname{tanh}^{2}(\sqrt{x})+C.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação por derivação): derivando F(x)=\operatorname{tanh}^{2}(\sqrt{x}) obtemos
F'(x)=2\operatorname{tanh}(\sqrt{x})\cdot\operatorname{sech}^{2}(\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big).
Como \frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, isso dá
F'(x)=2\operatorname{tanh}(\sqrt{x})\operatorname{sech}^{2}(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\operatorname{sech}^{2}(\sqrt{x})\,\operatorname{tanh}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\operatorname{tanh}^{2}(\sqrt{x})+C

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