Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda envolve as funções hiperbólicas
e aplicadas a . - Há um fator
multiplicando . - O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que seja a integranda.
Passo 2
Observação útil (por que escolher uma substituição): a presença de
dentro das funções hiperbólicas e do fator
indica que é conveniente trocar de variável para eliminar
. Fazemos a substituição
Agora calculamos a relação entre
e
. Como
, temos
Isolando
obtemos
Explicação:
significa a derivada de
em relação a
. Invertendo essa relação obtemos
em termos de
, que é o que precisamos para substituir na integral.
Passo 3
Vamos substituir na integral usando
e
. A integranda original é
Substituindo:
Note que
cancela com
, ficando
Portanto a integral passa a ser
Passo 4
Agora enxergamos a integral em
:
Usamos uma segunda substituição interna (ou observação de derivada): conhecemos a derivada da função hiperbólica tangente:
Isso é importante: significa que
é exatamente
. Então fazemos a substituição
Assim a integral fica
Explicação didática: quando vemos um fator que é a derivada de outra parte da integranda (aqui
é a derivada de
), é um sinal clássico de que devemos usar essa substituição — ela transforma a integral numa integral algébrica simples.
Passo 5
Integramos em
:
Agora voltamos às variáveis originais. Lembrando que
e
, obtemos a primitiva
Passo 6
Verificação rápida (confirmação por derivação): derivando
obtemos
Como
, isso dá
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.