Efetue:
\left(\frac{2 a b^{3}}{5 x^{4}}\right)^{-2}=

Passo 1

O problema pede para efetuar a expressão
\left(\frac{2 a b^{3}}{5 x^{4}}\right)^{-2}.
Informações dadas: temos uma fração com numerador 2ab^{3} e denominador 5x^{4}, toda elevada ao expoente -2. Pressupomos que a, b e x são diferentes de zero (senão haveria divisão por zero).

Passo 2

Regra importante sobre expoentes negativos: para qualquer número ou expressão y e inteiro positivo n,
y^{-n}=\frac{1}{y^{n}}.
Aplicado a uma fração, isso dá a versão prática:
\left(\frac{u}{v}\right)^{-n}=\left(\frac{v}{u}\right)^{n}.
Exemplo curto para fixar: \left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}.

Passo 3

Usando a regra do passo anterior, invertemos a fração e trocamos o sinal do expoente:
\left(\frac{2 a b^{3}}{5 x^{4}}\right)^{-2}=\left(\frac{5 x^{4}}{2 a b^{3}}\right)^{2}.

Passo 4

Regra sobre potência de produto e potência de quociente: para inteiros n,
\left(\frac{u}{v}\right)^{n}=\frac{u^{n}}{v^{n}} \quad\text{e}\quad (pq)^{n}=p^{n}q^{n}.
Além disso, a regra de potência de potência é
\left(w^{r}\right)^{s}=w^{r\cdot s}.
Vamos aplicar essas regras ao numerador e denominador do lado direito.

Passo 5

Elevo separadamente numerador e denominador ao quadrado:
Numerador:
(5 x^{4})^{2}=5^{2}\,(x^{4})^{2}=25\,x^{4\cdot 2}=25\,x^{8}.
Denominador:
(2 a b^{3})^{2}=2^{2}\,a^{2}\,(b^{3})^{2}=4\,a^{2}\,b^{3\cdot 2}=4\,a^{2}\,b^{6}.

Passo 6

Juntando numerador e denominador, obtemos a forma simplificada com expoentes positivos:
\left(\frac{2 a b^{3}}{5 x^{4}}\right)^{-2}=\frac{25\,x^{8}}{4\,a^{2}\,b^{6}}.

Passo 7

Para consolidar a ideia, outro exemplo rápido: \left(\frac{2t^{2}}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{3}{2t^{2}}\right)^{3}=\frac{27}{8\,t^{6}}. Mesma lógica: inverter e elevar cada fator.

Resposta

\frac{25 x^{8}}{4 a^{2} b^{6}}

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