Efetue:
\left(-\frac{1}{3 a^{2}}\right)^{-4}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \left(-\frac{1}{3 a^{2}}\right)^{-4}.
Informações dadas: a expressão é uma potência inteira negativa de uma fração que contém um sinal negativo no numerador e a aparece como a^{2} no denominador. Não há valores numéricos para a; trata-se de manipulação algébrica.

Passo 2

Relembre a propriedade de expoentes para expoente negativo: para qualquer número não nulo x e inteiro n>0,
x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}.
Isto significa que um expoente negativo inverte a base (faz o reciproco) e transforma o expoente em positivo. Exemplo simples: (2)^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}.

Passo 3

Relembre a propriedade de potência de quociente: para quaisquer x, y não nulos e inteiro n,
\left(\frac{x}{y}\right)^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}.
Dessa forma, quando temos um expoente aplicado a uma fração, podemos aplicar o expoente separadamente ao numerador e ao denominador.

Passo 4

Relembre a propriedade da potência de um produto (ou do sinal): para quaisquer x,y e inteiro n,
(xy)^{n}=x^{n}y^{n}.
Aplicado ao caso do sinal negativo, (-1)^{n} aparece separadamente e controla o sinal do resultado: se n é par, (-1)^{n}=1; se n é ímpar, (-1)^{n}=-1.

Passo 5

Também use a propriedade de potência de potência: para qualquer x e inteiros m,n,
\left(x^{m}\right)^{n}=x^{mn}.
No nosso caso isso será útil para \left(a^{2}\right)^{4}.

Passo 6

Aplique a propriedade do expoente negativo diretamente à expressão:
\left(-\frac{1}{3 a^{2}}\right)^{-4} =\left(\frac{-1}{3 a^{2}}\right)^{-4}.
Pelo fato de o expoente ser negativo, podemos inverter a fração e trocar o sinal do expoente para positivo:
\left(\frac{-1}{3 a^{2}}\right)^{-4}=\left(\frac{3 a^{2}}{-1}\right)^{4}.
Note que eu apenas usei a regra \left(\frac{x}{y}\right)^{-n}=\left(\frac{y}{x}\right)^{n}.

Passo 7

Simplifique \left(\frac{3 a^{2}}{-1}\right)^{4}. Podemos ver \frac{3 a^{2}}{-1} como -3 a^{2}, pois dividir por -1 muda apenas o sinal:
\left(\frac{3 a^{2}}{-1}\right)^{4}=(-3 a^{2})^{4}.

Passo 8

Agora use a propriedade do produto na potência para separar fatores:
(-3 a^{2})^{4}=(-1)^{4}\cdot 3^{4}\cdot (a^{2})^{4}.
Expliquei: se um termo é produto de fatores, cada fator é elevado à potência.

Passo 9

Calcule cada parte:
  • (-1)^{4}=1 porque o expoente 4 é par.
  • 3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81.
  • (a^{2})^{4}=a^{2\cdot 4}=a^{8} pela propriedade da potência de potência.
Portanto,
(-1)^{4}\cdot 3^{4}\cdot (a^{2})^{4}=1\cdot 81\cdot a^{8}=81a^{8}.

Resposta

81a^{8}

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